Можно показать, как пользоваться законом Ампера, определив магнитное поле вблизи провода. Зададим вопрос: чему равно поле вне длинного прямолинейного провода цилиндрического сечения? Мы сделаем одно предположение, может быть, не столь уж очевидное, но тем не менее правильное: линии поля идут вокруг провода по окружности. Если мы сделаем такое предположение, то закон Ампера [уравнение (13.16)] говорит нам, какова величина поля. В силу симметрии задачи поле имеет одинаковую величину во всех точках окружности, концентрической с проводом (фиг. 13.7). Тогда можно легко взять линейный интеграл от . Он равен просто величине , умноженной на длину окружности. Если радиус окружности равен , то

.

Полный ток через петлю есть просто ток в проводе, поэтому

. (13.17)

Напряженность магнитного поля спадает обратно пропорционально , расстоянию от оси провода. При желании уравнение (13.17) можно записать в векторной форме. Вспоминая, что направлено перпендикулярно как , так и , имеем

(13.18)

Фигура 13.7. Магнитное поле вне длинного провода с током .

Фигура 13.8. Магнитное поле длинного соленоида.

Мы выделили множитель , потому что он часто появляется. Стоит запомнить, что он равен в точности (в системе единиц СИ), потому что уравнение вида (13.17) используется для определения единицы тока, ампера. На расстоянии ток в создает магнитное поле, равное .

Раз ток создает магнитное поле, то он будет действовать с некоторой силой на соседний провод, по которому также проходит ток. В гл. 1 мы описывали простой опыт, показывающий силы между двумя проводами, по которым течет ток. Если провода параллельны, то каждый из них перпендикулярен полю другого провода; тогда провода будут отталкиваться или притягиваться друг к другу. Когда токи текут в одну сторону, провода притягиваются, когда токи противоположно направлены,- они отталкиваются.

Возьмем другой пример, который тоже можно проанализировать с помощью закона Ампера, если еще добавить кое-какие сведения о характере поля. Пусть имеется длинный провод, свернутый в тугую спираль, сечение которой показано на фиг. 13.8. Такая спираль называется соленоидом. На опыте мы наблюдаем, что когда длина соленоида очень велика по сравнению с диаметром, то поле вне его очень мало по сравнению с полем внутри. Используя только этот факт и закон Ампера, можно найти величину поля внутри.

Поскольку поле остается внутри (и имеет нулевую дивергенцию), его линии должны идти параллельно оси, как показано на фиг. 13.8. Если это так, то мы можем использовать закон Ампера для прямоугольной «кривой» на рисунке. Эта кривая проходит расстояние внутри соленоида, где поле, скажем, равно , затем идет под прямым углом к полю и возвращается назад по внешней области, где полем можно пренебречь. Линейный интеграл от вдоль этой кривой равен в точности , и это должно равняться , умноженному на полный ток внутри , т.е. на (где - число витков соленоида на длине ). Мы имеем

Или же, вводя - число витков на единицу длины соленоида (так что ), мы получаем

Фигура 13.9. Магнитное поле вне соленоида.

Что происходит с линиями , когда они доходят до конца соленоида? По-видимому, они как-то расходятся и возвращаются в соленоид с другого конца (фиг. 13.9). В точности такое же поле наблюдается вне магнитной палочки. Ну а что же такое магнит? Наши уравнения говорят, что поле возникает от присутствия токов. А мы знаем, что обычные железные бруски (не батареи и не генераторы) тоже создают магнитные поля. Вы могли бы ожидать, что в правой части (13.12) или (13.13) должны были бы быть другие члены, представляющие «плотность намагниченного железа» или какую-нибудь подобную величину. Но такого члена нет. Наша теория говорит, что магнитные эффекты железа возникают от каких-то внутренних токов, уже учтенных членом .

Вещество устроено очень сложно, если рассматривать его с глубокой точки зрения; в этом мы уже убедились, когда пытались понять диэлектрики. Чтобы не прерывать нашего изложения, отложим подробное обсуждение внутреннего механизма магнитных материалов типа железа. Пока придется принять, что любой магнетизм возникает за счет токов и что в постоянном магните имеются постоянные внутренние токи. В случае железа эти токи создаются электронами, вращающимися вокруг собственных осей. Каждый электрон имеет такой спин, который соответствует крошечному циркулирующему току. Один электрон, конечно, не дает большого магнитного поля, но в обычном куске вещества содержатся миллиарды и миллиарды электронов. Обычно они вращаются любым образом, так что суммарный эффект исчезает. Удивительно то, что в немногих веществах, подобных железу, большая часть электронов крутится вокруг осей, направленных в одну сторону,- у железа два электрона из каждого атома принимают участие в этом совместном движении. В магните имеется большое число электронов, вращающихся в одном направлении, и, как мы увидим, их суммарный эффект эквивалентен току, циркулирующему по поверхности магнита. (Это очень похоже на то, что мы нашли в диэлектриках,- однородно поляризованный диэлектрик эквивалентен распределению зарядов на его поверхности.) Поэтому не случайно, что магнитная палочка эквивалентна соленоиду.

Вычислим индукцию магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником с током в произвольной точке М . Мысленно разобьем проводник на элементарно малые участки длиною . Согласно правилу буравчика в точке М векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление - за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей , причем

. (3)

Для интегрирования нужно переменные , , и выразить через одну какую-либо из них. В качестве переменной интегрирования выберем угол . ВС - есть дуга окружности радиуса r с центром в точке , равная (см. рисунок). Выразим из прямоугольного треугольника АВС : . Подставив это выражение в (3) получим . Из треугольника АОМ определим , где - кратчайшее расстояние от точки поля до линии тока. Тогда

.

Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегрированию от до , находим .

Таким образом, индукция магнитного поля, созданного прямолинейным током конечной длины будет равна

.

В дальнейшем, я введу понятие вектора напряженности магнитного поля , которое связано с индукцией магнитного поля соотношением , , где - магнитная проницаемость среды. Для вакуума , для воздуха . Тогда напряженность магнитного поля, созданного проводником конечной длины будет равна

.

Для прямолинейного проводника бесконечной длины углы и будут равны , , а выражение в скобках принимает значение . Следовательно, индукция и напряженность магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током бесконечной длины равны соответственно

Магнитное поле кругового тока

В качестве второго применения закона Био - Савара - Лапласа вычислим индукцию и напряженность магнитного поля на оси кругового тока. Обозначим радиус окружности проводника с током через , расстояние от центра кругового тока до исследуемой точки поля через h . От всех элементов тока образуется конус векторов , и легко сообразить, что результирующий вектор в точке будет направлен горизонтально вдоль оси . Для нахождения модуля вектора достаточно сложить проекции векторов на ось . Каждая такая проекция имеет вид

,

где учтено, что угол - между векторами и равен , поэтому синус равен единице. Проинтегрируем это выражение по всем

.

Интеграл - есть длина окружности проводника с током, тогда

.

Учитывая, что , запишем

и, применяя теорему Пифагора, получим,

,

а для напряженности магнитного поля

.

Магнитная индукция и напряженность магнитного поля в центре кругового тока, ( , ) , соответственно равны

Взаимодействие параллельных проводников с током.

Единица силы тока.

Найдем силу на единицу длины, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами и , если расстояние между проводами равно . Каждый элемент тока находится в магнитном поле тока , а именно в поле . Угол между каждым элементом тока и вектором поля равен 90°.

Тогда согласно закону Ампера, на участок проводника с током действует сила

,

а на единицу длины проводника эта сила будет равна

Для силы действующей на единицу длины проводника с током , получается, то же выражение. И наконец. Определяя направление вектора при помощи правила правого винта, и направление силы Ампера при помощи правила левой руки убедимся, что токи одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные отталкиваются.

Если по проводникам, находящимся на расстоянии протекают одинаковые токи , то на каждый метр длины проводников действуют силы равные по или, учитывая что , получим, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора, или в другой записи .

Это означает, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи. Этот закон является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.

Рассмотрим прямолинейный проводник (рис.3.2) , который является частью замкнутой электрической цепи. По закону Био-Савара-Лапласа вектор магнитной индукции
поля, создаваемого в точкеА элементом проводника с токомI , имеет значение
, где- угол между векторамии. Для всех участковэтого проводника векторыилежат в плоскости чертежа, поэтому в точкеА все векторы
, создаваемые каждым участком, направлены перпендикулярно к плоскости чертежа (к нам). Векторопределяется по принципу суперпозиции полей:

,

его модуль равен:

.

Обозначим расстояние от точки А до проводника . Рассмотрим участок проводника
. Из точкиА проведем дугу С D радиуса ,
– мал, поэтому
и
. Из чертежа видно, что
;
, но
(CD =
) Поэтому имеем:

.

Для получаем:

где и- значения угла для крайних точек проводникаMN .

Если проводник бесконечно длинный, то
,
. Тогда

индукция в каждой точке магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током обратно пропорциональна кратчайшему расстоянию от этой точки до проводника .

3.4. Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим круговой виток радиуса R , по которому течет ток I (рис. 3.3). По закону Био- Савара- Лапласа индукция
поля, создаваемого в точкеО элементом витка с током равна:

,

причём
, поэтому
, и
. С учётом сказанного получаем:

.

Все векторы
направлены перпендикулярно к плоскости чертежа к нам, поэтому индукция

напряженность
.

Пусть S – площадь, охватываемая круговым витком,
. Тогда магнитная индукция в произвольной точке оси кругового витка с током:

,

где – расстояние от точки до поверхности витка. Известно, что
- магнитный момент витка. Его направление совпадает с векторомв любой точке на оси витка, поэтому
, и
.

Выражение для по виду аналогично выражению для электрического смещения в точках поля, лежащих на оси электрического диполя достаточно далеко от него:

.

Поэтому магнитное поле кольцевого тока часто рассматривают как магнитное поле некоторого условного «магнитного диполя», положительным (северным) полюсом считают ту сторону плоскости витка, из которой магнитные силовые линии выходят, а отрицательным (южным) – ту, в которую входят.

Для контура тока, имеющего произвольную форму:

,

где - единичный вектор внешней нормали к элементуповерхностиS , ограниченной контуром. В случае плоского контура поверхность S – плоская и все векторы совпадают.

3.5. Магнитное поле соленоида

Соленоид - это цилиндрическая катушка с большим числом витков провода. Витки соленоида образуют винтовую линию. Если витки расположены вплотную, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов. Эти витки (токи) имеют одинаковый радиус и общую ось (рис.3.4).

Рассмотрим сечение соленоида вдоль его оси. Кружками с точкой будем обозначать токи, идущие из-за плоскости чертежа к нам, а кружочком с крестиком - токи, идущие за плоскость чертежа, от нас. L – длина соленоида, n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; - R - радиус витка. Рассмотрим точку А , лежащую на оси
соленоида. Ясно, что магнитная индукцияв этой точке направлена вдоль оси
и равна алгебраической сумме индукций магнитных полей, создаваемых в этой точке всеми витками.

Проведем из точки А радиус – вектор к какому-либо витку. Этот радиус-вектор образует с осью
уголα . Ток, текущий по этому витку, создает в точке А магнитное поле с индукцией

.

Рассмотрим малый участок
соленоида, он имеет
витков. Эти витки создают в точкеА магнитное поле, индукцию которого

.

Ясно, что расстояние по оси от точки А до участка
равно
; тогда
.Очевидно,
, тогда

Магнитная индукция полей, создаваемых всеми витками, в точке А равна

Напряженность магнитного поля в точке А
.

Из рис.3. 4 находим:
;
.

Таким образом, магнитная индукция зависит от положения точки А на оси соленоида. Она

максимальна в середине соленоида:

.

Если L >> R , то соленоид можно считать бесконечно длинным, в этом случае
,
,
,
; тогда

;
.

На одном из концов длинного соленоида
,
или
;
,
,
.

Магнитное поле проводника с током. При прохождении тока по прямолинейному проводнику вокруг него возникает магнитное поле (рис. 38). Магнитные силовые линии этого поля располагаются по концентрическим окружностям, в центре которых находится проводник с током.
Направление магнитного поля вокруг проводника с током всегда находится в строгом соответствии с направлением тока, проходящего по проводнику. Направление магнитных силовых линий можно определить по правилу буравчика. Его формулируют следующим образом. Если поступательное движение буравчика 1 (рис. 39, а) совместить с направлением тока 2 в проводнике 3, то вращение его рукоятки укажет направление силовых линий 4 магнитного поля вокруг проводника. Например, если ток проходит по проводнику в направлении от нас за плоскость листа книги (рис. 39, б), то магнитное поле, возникающее вокруг этого проводника, направлено по часовой стрелке. Если ток по проводнику проходит по направлению от плоскости листа книги к нам, то магнитное поле вокруг проводника направлено против часовой стрелки. Чем больше ток, проходящий по проводнику, тем сильнее возникающее вокруг него магнитное поле. При изменении направления тока магнитное поле также изменяет свое направление.
По мере удаления от проводника магнитные силовые линии располагаются реже. Следовательно, индукция магнитного поля и его напряженность уменьшаются. Напряженность магнитного поля в пространстве, окружающем проводник,

H = I/(2?r) (44)

Максимальная напряженность Н max имеет место на внешней поверхности проводника 1 (рис. 40). Внутри проводника также

возникает магнитное поле, но напряженность его линейно уменьшается по направлению от внешней поверхности к оси (кривая 2). Магнитная индукция поля вокруг и внутри проводника изменяется таким же образом, как и напряженность.

Способы усиления магнитных полей. Для получения сильных магнитных полей при небольших токах обычно увеличивают число проводников с током и выполняют их в виде ряда витков; такое устройство называют обмоткой, или катушкой.
При проводнике, согнутом в виде витка (рис. 41, а), магнитные поля, образованные всеми участками этого проводника, будут внутри витка иметь одинаковое направление. Поэтому интенсивность магнитного поля внутри витка будет больше, чем вокруг прямолинейного проводника. При объединении витков в катушку магнитные поля, созданные отдельными витками, складываются (рис. 41, б) и их силовые линии соединяются в общий магнитный поток. При этом концентрация силовых линий внутри катушки возрастает, т. е. магнитное поле внутри нее усиливается. Чем больше ток, проходящий через катушку, и чем больше в ней витков, тем сильнее создаваемое катушкой магнитное поле. Магнитное поле снаружи катушки также складывается из магнитных полей отдельных витков, однако магнитные силовые линии располагаются не так густо, вследствие чего интенсивность магнитного поля там не столь велика, как внутри катушки. Магнитное поле катушки, обтекаемой током, имеет такую же форму, как и поле прямолинейного постоянного магнита (см. рис. 35, а): силовые магнитные линии выходят из одного конца катушки и входят В другой ее конец. Поэтому катушка, обтекаемая током, представляет собой искусственный электрический магнит. Обычно для усиления магнитного поля внутрь катушки вставляют стальной сердечник; такое устройство называется электромагнитом.
Электромагниты нашли чрезвычайно широкое применение в технике. Они создают магнитное поле, необходимое для работы электрических машин, а также электродинамические усилия, требуемые. Для работы различных электроизмерительных приборов и электрических аппаратов.
Электромагниты могут иметь разомкнутый или замкнутый магнитопровод (рис. 42). Полярность конца катушки электромагнита можно определить, как и полярность постоянного магнита, при помощи магнитной стрелки. К северному полюсу она поворачивается южным концом. Для определения направления магнитного поля, создаваемого витком или катушкой, можно использовать также правило буравчика. Если совместить направление вращения рукоятки с направлением тока в витке или катушке, то поступательное движение буравчика укажет направление магнитного поля. Полярность электромагнита можно определить и с помощью правой руки. Для этого руку надо положить ладонью на катушку (рис. 43) и совместить четыре пальца с направлением в ней тока, при этом отогнутый большой палец покажет направление магнитного поля.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Национальный минерально-сырьевой университет ”Горный”

Кафедра Общей и технической физики

(лаборатория электромагнетизма)

Изучение магнитного поля

(закон Био–Савара–Лапласа)

Методические указания к лабораторной работе № 4

Для студентов всех специальностей

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Цель работы: Измерение магнитных полей, создаваемых проводниками различных конфигураций. Экспериментальная проверка закона Био–Савара–Лапласа.

Теоретические основы лабораторной работы

Использование магнитного поля в промышленности нашло широкое применение. Проблема передачи энергии до тех или иных промышленных и др. установок может быть решена при помощи магнитного поля (например, в трансформаторах). В обогатительном деле при помощи магнитного поля производят сепарацию (магнитные сепараторы), т.е. отделяют полезные ископаемые от пустой породы. А в процессе производства искусственных абразивов ферросилиций, присутствующий в смеси, оседает на дно печи, но небольшие его количества внедряются в абразив и позже удаляются магнитом. Без магнитного поля не смогли бы работать электромашинные генераторы и электродвигатели. Термоядерный синтез, магнитодинамическое генерирование электроэнергии, ускорение заряженных частиц в синхротронах, подъём затонувших судов и др. – всё это области, где требуются магниты. Природные магниты, как правило, не достаточно эффективны в решении некоторых производственных проблем и используются в основном только в бытовой технике и в измерительной аппаратуре. Основное применение магнитное поле находит в электротехнике, радиотехнике, приборостроении, автоматике и телемеханике. Здесь ферромагнитные материалы идут на изготовление магнитопроводов, реле и др. магнитоэлектрических приборов. Естественные (или природные) магниты встречаются в природе в виде залежей магнитных руд. В горном деле вопросам разработки залежей магнитных руд посвящены отдельные разделы и имеют свою специфику, например, есть такие науки, как магнетохимия и магнитная дефектоскопия. В Тартуском университете находится самый крупный известный естественный магнит. Его масса составляет 13 кг, и он способен поднять груз в 40 кг. Проблема создания сильных магнитных полей стала одной из основных в современной физике и технике. Сильные магниты можно создавать проводниками с током. В 1820 Г. Эрстед (1777–1851) обнаружил, что проводник с током воздействует на магнитную стрелку, поворачивая ее. Буквально неделей позже Ампер показал, что два параллельных проводника с током одного направления притягиваются друг к другу. Позднее он высказал предположение, что все магнитные явления обусловлены токами, причем магнитные свойства постоянных магнитов связаны с токами, постоянно циркулирующими внутри этих магнитов. Это предположение полностью соответствует современным представлениям. Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774 – 1862) и Ф. Саваром (1791 – 1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом. Закон Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет рассчитывать магнитные поля, создаваемые любыми проводниками с током.

Изучение закономерностей протекания магнитных явлений позволит обобщить приобретенные знания и успешно использовать их как в лабораторных условиях, так и в производстве.

Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает магнитное поле. Магнитное поле характеризуется вектором напряженности `H (рис. 1), который можно вычислить по формуле

`H = òd`H .

Cогласно закону Био-Савара-Лапласа,

где I – сила тока в проводнике, d `l – вектор, имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока, `r – радиус вектор, соединяющий элемент с рассматриваемой точкой P .

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником с током конечной длины (рис. 2). Отдельные элементарные участки этого проводника создают поля d`H , направленные в одну сторону (перпендикулярно плоскости чертежа), поэтому напряженность магнитного поля в точке P может быть найдена интегрированием:

Имеем l = r o ×сtga, так что Кроме того, Поэтому