То нажмите на кнопки, и задача выполнена. В результате у вас получится либо целое число, либо десятичная дробь. Десятичная дробь может получится с длинным остатком после . В этом случае дробь нужно округлить до определенного, нужного вам разряда, используя округления (цифры до 5 округляются в меньшую сторону, от 5 включительно и более - в большую сторону).

Если калькулятора под рукой не , но придется . Напишите числитель дроби со знаменателем, между ними уголочек, означающий . К примеру, переведите в число дробь 10/6. Для начала 10 разделите на 6. Получится 1. Запишите результат по уголком. Перемножьте 1 на 6, получится 6. Вычтите 6 из 10. Получится остаток 4. Остаток нужно снова разделить на 6. Допишите к 4 цифру 0, и разделите 40 на 6. Получится 6. Запишите 6 в результат, после запятой. Перемножьте 6 на 6. Получится 36. Вычтите 36 из 40. Получится вновь остаток 4. Далее можно не продолжать, поскольку становится очевидным, что результатом будет число 1,66(6). Округлите данную дробь до того разряда, который вам необходим. Например, 1,67. Это и есть окончательный результат.

Связанная статья

Источники:

• перевод дробей с целым числом

Дроби нужны для обозначения чисел, которые состоят из одной или нескольких частей единицы. Термин "дробь" произошел от латинского fractura, которое имеет значение "дробить, ломать". Различаются обыкновенные и десятичные дроби. При этом в обыкновенных дробях единицу можно разделить на любое количество частей, а в десятичной - это количество должно быть кратно 10. Любая дробь может иметь быть как обычной, так и десятичной.

Вам понадобится

• Для подсчета результата вам понадобится калькулятор или листок и ручка.

Инструкция

Итак, для начала возьмите обыкновенную дробь и разделите ее на части. Например, 2 1\8, в которой 2 - это целая часть, а 1\8 дробь. Из нее можно увидеть, что число разделили на 8 , но взяли лишь одну. Часть, которую взяли, числитель, а количество частей, на которое делят, - знаменатель.

Обратите внимание

Зачастую встречаются дроби, которые нельзя полностью перевести в десятичные. В этом случае на помощь приходит округление. Если вы хотите округлить до тысячных, то посмотрите на четвертое число после запятой. Если оно меньше 5, то запишите в ответ, первые три цифры после запятой без изменения, в противном случае к последней цифре из трех необходимо прибавить единицу. Например, 0, 89643123 можно записать как 0,896, а вот 0, 89663123 - 0,897.

Полезный совет

Если вы подсчитываете результат вручную, то перед делением дробь лучше максимально сократить, а также выделить из нее целые части.

Источники:

• как перевести дроби

Дробь является одним из элементов формул, для ввода которых в текстовом процессоре Word существует инструмент Microsoft Equation. С помощью него можно вводить любые сложные математические или физические формулы, уравнения и другие элементы, включающие в себя специальные символы.

Инструкция

Чтобы запустить инструмент Microsoft Equation необходимо пройти по адресу: «Вставка» -> «Объект», в открывшемся диалоговом окне, на первой вкладке из списка нужно выбрать Microsoft Equation и нажать «Ок» или два раза кликнуть на выбранном пункте. После запуска редактора , перед вами откроется панель инструментов и в отобразится поле для ввода : прямоугольник в пунктирной . Панель инструментов разделена на секции, в каждой из них находится набор знаков действий или выражений. При нажатии на одну из секций, развернется список находящихся в ней инструментов. Из открывшегося списка необходимо выбрать нужный символ и кликнуть на нем. После выбора, указанный символ появится в выделенном прямоугольнике в документе.

Секция, в которой располагаются элементы для написания дробей, находится во второй строке панели инструментов. При наведении на нее курсора мыши, вы увидите подсказку «Шаблоны дробей и радикалов». Кликните секцию один раз и разверните список. В выпавшем меню есть шаблоны для дробей с горизонтальной и косой . Среди появившихся вариантов вы можете выбрать тот, который подходит для вашей задачи. Кликните на нужном варианте. После нажатия, в поле для ввода, которое открылось в документе, появится символ дроби и места для ввода числителя и знаменателя, обрамленные пунктирной линией. Курсор по умолчанию автоматически устанавливается в поле для ввода числителя. Введите числитель. Помимо цифр можно так же вводить символы, буквы или знаки действий. Их можно вводить как с клавиатуры, так и из соответствующих секций панели инструментов Microsoft Equation. После вода числителя, нажатием клавиши TAB, перейдите к знаменателю. Перейти можно и кликнув мышью в поле для ввода знаменателя. Как только написана, кликните указателем мыши в любом месте документа, панель инструментов закроется, ввод дроби будет завершен. Чтобы отредактировать , дважды нажмите на ней левой кнопкой мыши.

Если при открытии меню «Вставка» -> «Объект», в списке вы не обнаружили инструмента Microsoft Equation, его необходимо установить. Запустите установочный диск, образ диска или файл дистрибутива Word. В появившемся окне инсталлятора выберите «Добавить или удалить компоненты. Добавление или удаление отдельных компонентов» и нажмите «Далее». В следующем окне отметьте пункт «Расширенная настройка приложений». Нажмите «Далее». В следующем окне найдите пункт списка «Средства Office» и нажмите на плюсик слева. В развернувшемся списке, нас интересует пункт «Редактор формул». Кликните на значок рядом с надписью «Редактор формул» и, в открывшемся меню, нажмите «Запускать с компьютера». После этого нажмите «Обновить» и дождитесь пока пройдет установка необходимого компонента.

Уже в начальной школе учащиеся сталкиваются с дробями. И потом они появляются в каждой теме. Забывать действия с этими числами нельзя. Поэтому нужно знать всю информацию про обыкновенные и десятичные дроби. Понятия эти несложные, главное - разбираться во всем по порядку.

Зачем нужны дроби?

Окружающий нас мир состоит из целых предметов. Поэтому в долях необходимости нет. Зато повседневная жизнь постоянно наталкивает людей на работу с частями предметов и вещей.

Например, шоколад состоит из нескольких долек. Рассмотрим ситуацию, когда его плитка образована двенадцатью прямоугольниками. Если ее разделить на двоих, то получится по 6 частей. Она хорошо разделится и на троих. А вот пятерым не удастся дать по целому числу долек шоколада.

Кстати, эти дольки - уже дроби. А дальнейшее их деление приводит к появлению более сложных чисел.

Что такое «дробь»?

Это число, состоящее из частей единицы. Внешне оно выглядит как два числа, разделенные горизонтальной или наклонной чертой. Эта черта носит название дробной. Число, записанное сверху (слева), называется числителем. То, что стоит снизу (справа), является знаменателем.

По сути, дробная черта оказывается знаком деления. То есть числитель можно назвать делимым, а знаменатель — делителем.

Какие существуют дроби?

В математике их имеется всего два вида: обыкновенные и десятичные дроби. С первыми школьники знакомятся в начальных классах, называя их просто «дроби». Вторые узнают в 5 классе. Именно тогда появляются эти названия.

Обыкновенные дроби — все те, что записываются в виде двух чисел, разделенных чертой. Например, 4/7. Десятичная — это число, в котором дробная часть имеет позиционную запись и отделяется от целой при помощи запятой. К примеру, 4,7. Учащимся нужно четко уяснить, что два приведенных примера — это совершенно разные числа.

Каждую простую дробь можно записать в виде десятичной. Это утверждение почти всегда верно и в обратном направлении. Существуют правила, которые позволяют записать обыкновенной дробью десятичную дробь.

Какие подвиды имеют указанные виды дробей?

Начать лучше в хронологическом порядке, так как они изучаются. Первыми идут обыкновенные дроби. Среди них можно выделить 5 подвидов.

Правильная. Ее числитель всегда меньше знаменателя.

Неправильная. У нее числитель больше или равен знаменателю.

Сократимая/несократимая. Она может оказаться как правильной, так и неправильной. Важно другое, есть ли у числителя со знаменателем общие множители. Если имеются, то на них полагается разделить обе части дроби, то есть сократить ее.

Смешанная. К ее привычной правильной (неправильной) дробной части приписывается целое число. Причем оно всегда стоит слева.

Составная. Она образуется из двух разделенных друг на друга дробей. То есть в ней насчитывается сразу три дробные черты.

У десятичных дробей есть всего два подвида:

конечная, то есть та, у которой дробная часть ограничена (имеет конец);

бесконечная — число, у которого цифры после запятой не заканчиваются (их можно писать бесконечно).

Как переводить десятичную дробь в обыкновенную?

Если это конечное число, то применяется ассоциация, основанная на правиле — как слышу, так пишу. То есть нужно правильно прочитать ее и записать, но уже без запятой, а с дробной чертой.

В качестве подсказки о необходимом знаменателе, нужно запомнить, что он всегда единица и несколько нулей. Последних нужно написать столько, сколько цифр в дробной части рассматриваемого числа.

Как перевести десятичные дроби в обыкновенные, если их целая часть отсутствует, то есть равна нулю? Например, 0,9 или 0,05. После применения указанного правила, получается, что нужно написать ноль целых. Но оно не указывается. Остается записать только дробные части. У первого числа знаменатель будет равен 10, у второго — 100. То есть указанные примеры ответами будут иметь числа: 9/10, 5/100. Причем последнее оказывается можно сократить на 5. Поэтому результатом для нее нужно записать 1/20.

Как из десятичной дроби сделать обыкновенную, если ее целая часть отлична от нуля? Например, 5,23 или 13,00108. В обоих примерах читается целая часть и записывается ее значение. В первом случае это — 5, во втором — 13. Потом нужно переходить к дробной части. С ними полагается провести ту же операцию. У первого числа появляется 23/100, у второго — 108/100000. Второе значение снова нужно сократить. В ответе получаются такие смешанные дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную?

Если она является непериодической, то такую операцию провести не удастся. Этот факт связан с тем, что каждая десятичная дробь всегда переводится или в конечную или в периодическую.

Единственное, что допускается делать с такой дробью, — это округлять ее. Но тогда десятичная будет приблизительно равно той бесконечной. Ее уже можно превратить в обыкновенную. Но обратный процесс: перевод в десятичную — никогда не даст начального значения. То есть бесконечные непериодические дроби в обыкновенные не переводятся. Это нужно запомнить.

Как записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной?

В этих числах после запятой всегда появляются одна или несколько цифр, которые повторяются. Их называют периодом. Например, 0,3(3). Здесь «3» в периоде. Их относят к классу рациональных, так как могут быть преобразованы в обыкновенные дроби.

Тем, кто встречался с периодическими дробями, известно, что они могут быть чистыми или смешанными. В первом случае период начинается сразу от запятой. Во втором — дробная часть начинается с каких-либо цифр, а потом начинается повтор.

Правило, по которому нужно записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную, будет разным для указанных двух видов чисел. Чистые периодические дроби записать обыкновенными достаточно просто. Как с конечными, их нужно преобразовать: в числитель записать период, а знаменателем будет цифра 9, повторяющаяся столько раз, сколько цифр содержит период.

Например, 0,(5). Целой части у числа нет, поэтому сразу нужно приступать к дробной. В числитель записать 5, а в знаменатель одну 9. То есть ответом будет дробь 5/9.

Правило о том, как записать обыкновенной десятичную периодическую дробь, являющуюся смешанной.

Посмотреть на длину периода. Столько 9 будет иметь знаменатель.

Записать знаменатель: сначала девятки, потом нули.

Чтобы определить числитель, нужно записать разность двух чисел. Уменьшаемым будут все цифры после запятой, вместе с периодом. Вычитаемым — оно же без периода.

Например, 0,5(8) - запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной. В дробной части до периода стоит одна цифра. Значит ноль будет один. В периоде тоже только одна цифра — 8. То есть девятка одна. То есть в знаменателе нужно написать 90.

Для определения числителя из 58 нужно вычесть 5. Получается 53. Ответом к примеру придется записать 53/90.

Как переводятся обыкновенные дроби в десятичные?

Самым простым вариантом оказывается число, в знаменателе которого стоит число 10, 100 и прочее. Тогда знаменатель просто отбрасывается, а между дробной и целой частями ставится запятая.

Бывают ситуации, когда знаменатель легко превращается в 10, 100 и т. д. Например, числа 5, 20, 25. Их достаточно умножить на 2, 5 и 4 соответственно. Только умножать полагается не только знаменатель, но и числитель на то же число.

Для всех остальных случаев пригодится простое правило: разделить числитель на знаменатель. В этом случае может получиться два варианта ответов: конечная или периодическая десятичная дробь.

Действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание

С ними учащиеся знакомятся раньше других. Причем сначала у дробей одинаковые знаменатели, а потом разные. Общие правила можно свести к такому плану.

Найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Записать дополнительные множители ко всем обыкновенным дробям.

Умножить числители и знаменатели на определенные для них множители.

Сложить (вычесть) числители дробей, а общий знаменатель оставить без изменения.

Если числитель уменьшаемого меньше вычитаемого, то нужно выяснить, перед нами смешанное число или правильная дробь.

В первом случае у целой части нужно занять единицу. К числителю дроби прибавить знаменатель. А потом выполнять вычитание.

Во втором — необходимо применить правило вычитания из меньшего числа большее. То есть из модуля вычитаемого вычесть модуль уменьшаемого, а в ответ поставить знак «-».

Внимательно посмотреть на результат сложения (вычитания). Если получилась неправильная дробь, то полагается выделить целую часть. То есть разделить числитель на знаменатель.

Умножение и деление

Для их выполнения дроби не нужно приводить к общему знаменателю. Это упрощает выполнение действий. Но в них все равно полагается следовать правилам.

При умножении обыкновенных дробей необходимо рассмотреть числа в числителях и знаменателях. Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, то их можно сократить.

Перемножить числители.

Перемножить знаменатели.

Если получилась сократимая дробь, то ее полагается снова упростить.

При делении нужно сначала заменить деление на умножение, а делитель (вторую дробь) — на обратную дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

Потом действовать, как при умножении (начиная с пункта 1).

В заданиях, где умножить (делить) нужно на целое число, последнее полагается записать в виде неправильной дроби. То есть со знаменателем 1. Потом действовать, как было описано выше.



Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание

Конечно, всегда можно превратить десятичную дробь в обыкновенную. И действовать по уже описанному плану. Но иногда удобнее действовать без этого перевода. Тогда правила для их сложения и вычитания будут совершенно одинаковыми.

Уравнять число цифр в дробной части числа, то есть после запятой. Приписать в ней недостающее количество нулей.

Записать дроби так, чтобы запятая оказалась под запятой.

Сложить (вычесть) как натуральные числа.

Снести запятую.

Умножение и деление

Важно, что здесь не нужно дописывать нули. Дроби полагается оставлять в том виде, как они даны в примере. А дальше идти по плану.

Для умножения нужно написать дроби одна под другой, не обращая внимание на запятые.

Умножить, как натуральные числа.

Поставить в ответе запятую, отсчитав от правого конца ответа столько цифр, сколько их стоит в дробных частях обоих множителей.

Для деления нужно сначала преобразовать делитель: сделать его натуральным числом. То есть умножить его на 10, 100 и т. д., в зависимости от того, сколько цифр в дробной части делителя.

На то же число умножить делимое.

Разделить десятичную дробь на натуральное число.

Поставить в ответе запятую в тот момент, когда закончится деление целой части.



Как быть, если в одном примере есть оба вида дробей?

Да в математике часто встречаются примеры, в которых нужно выполнить действия над обыкновенными и десятичными дробями. В таких заданиях возможны два пути решения. Нужно объективно взвесить числа и выбрать оптимальный.

Первый путь: представить обыкновенные десятичными

Он подходит, если при делении или переводе получаются конечные дроби. Если хотя бы одно число дает периодическую часть, то этот прием применять запрещено. Поэтому, даже если не нравится работать с обыкновенными дробями, придется считать их.

Второй путь: записать десятичные дроби обыкновенными

Этот прием оказывается удобным, если в части после запятой стоят 1-2 цифры. Если их больше, может получиться очень большая обыкновенная дробь и десятичные записи позволят сосчитать задание быстрее и проще. Поэтому всегда нужно трезво оценивать задание и выбирать самый простой метод решения.

Говоря сухим математическим языком, дробь - это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.

Представление дробей

Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:

• 0,5 = 1/2;
• 0,25 = 1/4;
• 1,375 = 11/8.

И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.

Избавляемся от запятой

Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:

Шаг 1 : Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.

Шаг 2 : После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:

• 0,5/1 = 5/10;
• 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
• 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

Шаг 3 : Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:

• 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
• 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.

Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.

Избавляемся от запятой еще проще

Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.

Шаг 1 : Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 - шесть. Это количество мы обозначим буквой n.

Шаг 2 : Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10 n , где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:

• для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/10 3 = 1375/1000;
• для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/10 6 = 625/1000000.

По сути, 10 n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень - достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.

Шаг 3 : Сокращаем нули и получаем итоговый результат:

• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
• 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.

Дробь 11/8 - это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.

Преобразование на слух

Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.

0,025 = 25/1000 = 1/40

Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.

Примеры использования дробей в повседневной жизни

На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.

Работа

Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.

0,4 = 4/10 = 2/5

Быт

К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % - это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:

0,12 = 12/100 = 3/25

Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.

Заключение

Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.

Неправильная дробь - это один из форматов записи обыкновенной дроби. Как и у любой обыкновенной дроби, у нее есть число над чертой (числитель) и под ней - знаменатель. Если числитель больше знаменателя, это и есть отличительный признак неправильности дроби. В эту форму можно перевести смешанную обыкновенную дробь. Десятичную тоже можно представить в неправильной обыкновенной форме записи, но лишь в том случае, если перед разделительной запятой стоит число, отличное от нуля.

Инструкция

В смешанном формате обыкновенной дроби числитель и знаменатель отделены от целой части пробелом. Чтобы перевести такую запись в , сначала умножьте ее целую часть (число, стоящее перед пробелом) на знаменатель дробной части. Полученное значение прибавьте к числителю. Рассчитанная таким способом величина будет числителем неправильной дроби, а в ее знаменатель поставьте знаменатель смешанной дроби без каких-либо изменений. Например, 5 7/11 в формате обыкновенной неправильной можно записать так: (5*11+7)/11 = 62/11.

Для перевода десятичной дроби в неправильный обыкновенный формат записи определите количество разрядов после запятой, отделяющей целую часть от дробной - оно равно числу цифр справа от этой запятой. Полученное число используйте в качестве показателя степени, в которую вам нужно возвести десятку, чтобы рассчитать знаменатель неправильной дроби. Числитель получается без каких-либо расчетов - просто уберите запятую из десятичной дроби. Например, если исходная десятичная дробь равна 12,585, в числителе соответствующей ей неправильной должно стоять число 10³ = 1000, а в знаменателе - 12585: 12,585 = 12585/1000.

Как и любые обыкновенные дроби, можно и нужно сокращать. Для этого после получения результата описанными в предыдущих двух шагах способами попытайтесь подобрать наибольший общий делитель для числителя и знаменателя. Если это удастся сделать, разделите на найденное по обе стороны дробной черты. Для примера из второго шага таким делителем будет число 5, поэтому неправильную дробь можно сократить: 12,585 = 12585/1000 = 2517/200. А для примера из первого шага общего делителя нет, поэтому сокращать результирующую неправильную дробь не нужно.

Видео по теме

Десятичные дроби более удобны для автоматизированных расчетов, чем натуральные. Любая натуральная дробь может быть переведена в натуральную либо без потери точности, либо с точностью до заданного количества знаков после запятой, в зависимости от соотношения между числителем и знаменателем.

Инструкция

При необходимости округлите результат до требуемого количества знаков после запятой. Правила округления следующие: если в старшем из удаляемых разрядов расположена цифра от 0 до 4, то следующий по старшинству разряд (который не удаляется) не изменяется, а если цифра от 5 до 9 - увеличивается на единицу. В случае если последней из этих операций подвергнут разряд с цифрой 9, осуществляется перенос единицы в другой, еще более старший разряд, как столбиком. Учтите, что , округляя до доступного количества знакомест, осуществляет эту операцию не всегда . Иногда в его памяти имеются скрытые разряды, не выводимые на индикатор. Логарифмическая , обладая малой точностью (до двух знаков после запятой), зачастую при этом справляется с округлением в нужную сторону лучше.

Обнаружив, что после запятой повторяется определенная последовательность цифр, поместите эту последовательность в скобки. О ней говорят, что она находится « », поскольку она повторяется периодически. Например, число 53,7854785478547854... можно записать как 53,(7854).

Правильная дробь, значение которой больше единицы, состоит из двух частей: целой и дробной. Вначале поделите числитель дробной части на ее знаменатель. Затем результат деления сложите с целой частью. После этого при необходимости округлите результат до необходимого количества знаков после запятой либо найдите периодичность и выделите ее скобками.

Десятичные дроби удобны в обращении. Их распознают калькуляторы и многие компьютерные программы. Но порой бывает необходимо, к примеру, составить пропорцию. Для этого придется перевести десятичную дробь в обычную дробь. Это не составит труда, если совершить небольшой экскурс в школьную программу.

Инструкция

Сократите дробную часть получившегося . Для этого числитель и знаменатель дроби нужно разделить на один и тот же делитель. В данном случае это число "5". Итак, "5/10" преобразуется в "1/2".

Подберите число, чтобы результат его умножения на знаменатель был 10. Рассуждения ведите от обратного: можно ли превратить число 4 в 10? Ответ: нет, потому что 10 не делится на 4. Тогда 100? Да, 100 делится на 4 без остатка, в итоге получается 25. Умножьте числитель и знаменатель на 25 и запишите ответ в десятичном виде:
¼ = 25/100 = 0,25.

Не всегда можно воспользоваться методом подбора, существует еще два способа. Принцип их практически один и тот же, различается лишь запись. Один из них – постепенное выделение десятичных знаков. Пример: переведите дробь 1/8.

В этой статье мы разберем, как осуществляется перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби , а также рассмотрим обратный процесс – перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби. Здесь мы озвучим правила обращения дробей и приведем подробные решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби

Обозначим последовательность, в которой мы будем разбираться с переводом обыкновенных дробей в десятичные дроби .

Сначала мы рассмотрим, как обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1 000, … представить в виде десятичных дробей . Это объясняется тем, что десятичные дроби по сути являются компактной формой записи обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … .

После этого мы пойдем дальше и покажем, как любую обыкновенную дробь (не только со знаменателями 10, 100, … ) записать в виде десятичной дроби. При таком обращении обыкновенных дробей получаются как конечные десятичные дроби, так и бесконечные периодические десятичные дроби.

Теперь обо всем по порядку.

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби

Некоторые правильные обыкновенные дроби перед переводом в десятичные дроби нуждаются в «предварительной подготовке». Это касается обыкновенных дробей, количество цифр в числителе которых меньше, чем количество нулей в знаменателе. Например, обыкновенную дробь 2/100 нужно предварительно подготовить к переводу в десятичную дробь, а дробь 9/10 в подготовке не нуждается.

«Предварительная подготовка» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби заключается в дописывании слева в числителе такого количества нулей, чтобы там общее количество цифр стало равно количеству нулей в знаменателе. Например, дробь после дописывания нулей будет иметь вид .

После подготовки правильной обыкновенной дроби можно приступать к ее обращению в десятичную дробь.

Дадим правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем 10, или 100, или 1 000, … в десятичную дробь . Оно состоит из трех шагов:

• записываем 0 ;
• после него ставим десятичную запятую;
• записываем число из числителя (вместе с дописанными нулями, если мы их дописывали).

Рассмотрим применение этого правила при решении примеров.

Пример.

Переведите правильную обыкновенную дробь 37/100 в десятичную.

Решение.

В знаменателе находится число 100 , в записи которого два нуля. В числителе находится число 37 , в его записи две цифры, следовательно, эта дробь не нуждается в подготовке к переводу в десятичную дробь.

Теперь записываем 0 , ставим десятичную запятую, и записываем число 37 из числителя, при этом получаем десятичную дробь 0,37 .

Ответ:

0,37 .

Для закрепления навыков перевода правильных обыкновенных дробей с числителями 10, 100, … в десятичные дроби разберем решение еще одного примера.

Пример.

Запишите правильную дробь 107/10 000 000 в виде десятичной дроби.

Решение.

Количество цифр в числителе равно 3 , а количество нулей в знаменателе равно 7 , поэтому данная обыкновенная дробь нуждается в подготовке к переводу в десятичную. Нам нужно дописать 7-3=4 нуля слева в числителе, чтобы общее количество цифр там стало равно количеству нулей в знаменателе. Получаем .

Осталось составить нужную десятичную дробь. Для этого, во-первых, записываем 0 , во-вторых, ставим запятую, в-третьих, записываем число из числителя вместе с нулями 0000107 , в итоге имеем десятичную дробь 0,0000107 .

Ответ:

0,0000107 .

Неправильные обыкновенные дроби не нуждаются в подготовке при переводе в десятичные дроби. Следует придерживаться следующего правила перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби :

• записываем число из числителя;
• отделяем десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.

Разберем применение этого правила при решении примера.

Пример.

Переведите неправильную обыкновенную дробь 56 888 038 009/100 000 в десятичную дробь.

Решение.

Во-первых, записываем число из числителя 56888038009, во-вторых, отделяем десятичной запятой 5 цифр справа, так как в знаменателе исходной дроби 5 нулей. В итоге имеем десятичную дробь 568 880,38009 .

Ответ:

568 880,38009 .

Для обращения в десятичную дробь смешанного числа , знаменателем дробной части которого является число 10 , или 100 , или 1 000, … , можно выполнить перевод смешанного числа в неправильную обыкновенную дробь, после чего полученную дробь обратить в десятичную дробь. Но можно пользоваться и следующим правилом перевода смешанных чисел со знаменателем дробной части 10, или 100, или 1 000, … в десятичные дроби :

• при необходимости выполняем «предварительную подготовку» дробной части исходного смешанного числа, дописав необходимое количество нулей слева в числителе;
• записываем целую часть исходного смешанного числа;
• ставим десятичную запятую;
• записываем число из числителя вместе с дописанными нулями.

Рассмотрим пример, при решении которого выполним все необходимые шаги для представления смешанного числа в виде десятичной дроби.

Пример.

Переведите смешанное число в десятичную дробь.

Решение.

В знаменателе дробной части 4 нуля, в числителе же находится число 17 , состоящее из 2 цифр, поэтому, нам нужно дописать два нуля слева в числителе, чтобы там число знаков стало равно числу нулей в знаменателе. Выполнив это, в числителе окажется 0017 .

Теперь записываем целую часть исходного числа, то есть, число 23 , ставим десятичную запятую, после которой записываем число из числителя вместе с дописанными нулями, то есть, 0017 , при этом получаем искомую десятичную дробь 23,0017 .

Запишем все решение кратко: .

Несомненно, можно было сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, после чего перевести ее в десятичную дробь. При таком подходе решение выглядит так: .

Ответ:

23,0017 .

Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби

В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, … , но обыкновенные дроби с другими знаменателями. Сейчас мы разберемся, как это делается.

В некоторых случаях исходная обыкновенная дробь легко приводится к одному из знаменателей 10 , или 100 , или 1 000, … (смотрите приведение обыкновенной дроби к новому знаменателю), после чего не составляет труда полученную дробь представить в виде десятичной дроби. Например, очевидно, что дробь 2/5 можно привести к дроби со знаменателем 10 , для этого нужно числитель и знаменатель умножить на 2 , что даст дробь 4/10 , которая по правилам, разобранным в предыдущем пункте, легко переводится в десятичную дробь 0,4 .

В остальных случаях приходится использовать другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную, к рассмотрению которого мы и переходим.

Для обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь выполняется деление числителя дроби на знаменатель, числитель предварительно заменяется равной ему десятичной дробью с любым количеством нулей после десятичной запятой (об этом мы говорили в разделе равные и неравные десятичные дроби). При этом деление выполняется так же, как деление столбиком натуральных чисел , а в частном ставится десятичная запятая, когда заканчивается деление целой части делимого. Все это станет понятно из решений примеров, приведенных ниже примеров.

Пример.

Переведите обыкновенную дробь 621/4 в десятичную дробь.

Решение.

Число в числителе 621 представим в виде десятичной дроби, добавив десятичную запятую и несколько нулей после нее. Для начала допишем 2 цифры 0 , позже, при необходимости, мы всегда можем добавить еще нулей. Итак, имеем 621,00 .

Теперь выполним деление столбиком числа 621,000 на 4 . Первые три шага ничем не отличаются от деления столбиком натуральных чисел, после них приходим к следующей картине:

Так мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток при этом отличен от нуля. В этом случае в частном ставим десятичную запятую, и продолжаем деление столбиком, не обращая внимания на запятые:

На этом деление закончено, а в результате мы получили десятичную дробь 155,25 , которая соответствует исходной обыкновенной дроби.

Ответ:

155,25 .

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Переведите обыкновенную дробь 21/800 в десятичную дробь.

Решение.

Для перевода данной обыкновенной дроби в десятичную, выполним деление столбиком десятичной дроби 21,000… на 800 . Нам после первого же шага придется поставить десятичную запятую в частном, после чего продолжить деление:

Наконец-то мы получили остаток 0 , на этом перевод обыкновенной дроби 21/400 в десятичную дробь закончен, и мы пришли к десятичной дроби 0,02625 .

Ответ:

0,02625 .

Может случиться, что при делении числителя на знаменатель обыкновенной дроби мы так и не получим в остатке 0 . В этих случаях деление можно продолжать сколь угодно долго. Однако, начиная с некоторого шага, остатки начитают периодически повторяться, при этом повторяются и цифры в частном. Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь . Покажем это на примере.

Пример.

Запишите обыкновенную дробь 19/44 в виде десятичной дроби.

Решение.

Для перевода обыкновенной дроби в десятичную выполним деление столбиком:

Уже сейчас видно, что при делении начали повторяться остатки 8 и 36 , при этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Таким образом, исходная обыкновенная дробь 19/44 переводится в периодическую десятичную дробь 0,43181818…=0,43(18) .

Ответ:

0,43(18) .

В заключение этого пункта разберемся, какие обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные дроби, а какие – только в периодические.

Пусть перед нами находится несократимая обыкновенная дробь (если дробь сократимая, то предварительно выполняем сокращение дроби), и нам нужно выяснить, в какую десятичную дробь ее можно перевести – в конечную или периодическую.

Понятно, что если обыкновенную дробь можно привести к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … , то полученную дробь легко перевести в конечную десятичную дробь по правилам, разобранным в предыдущем пункте. Но к знаменателям 10, 100, 1 000 и т.д. приводятся далеко не все обыкновенные дроби. К таким знаменателям можно привести лишь дроби, знаменатели которых являются хотя бы одного из чисел 10, 100, … А какие числа могут быть делителями 10, 100, … ? Ответить на этот вопрос нам позволят чисел 10, 100, … , а они таковы: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Отсюда следует, что делителями 10, 100, 1 000 и т.д. могут быть лишь числа, разложения которых на простые множители содержат лишь числа 2 и (или) 5 .

Теперь мы можем сделать общий вывод о переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби:

• если в разложении знаменателя на простые множители присутствуют лишь числа 2 и (или) 5 , то эту дробь можно перевести в конечную десятичную дробь;
• если кроме двое и пятерок в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, то эта дробь переводится к бесконечную десятичную периодическую дробь.

Пример.

Не выполняя перевод обыкновенных дробей в десятичные, скажите, какие из дробей 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можно перевести в конечную десятичную дробь, а какие - только в периодическую.

Решение.

Разложение на простые множители знаменателя дроби 47/20 имеет вид 20=2·2·5 . В этом разложении присутствуют лишь двойки и пятерки, поэтому эта дробь может быть приведена к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … (в этом примере к знаменателю 100 ), следовательно, может быть переведена в конечную десятичную дробь.

Разложение на простые множители знаменателя дроби 7/12 имеет вид 12=2·2·3 . Так как оно содержит простой множитель 3 , отличный от 2 и 5 , то эта дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, но может быть переведена в периодическую десятичную дробь.

Дробь 21/56 – сократимая, после сокращения она принимает вид 3/8 . Разложение знаменателя на простые множители содержит три множителя, равных 2 , следовательно, обыкновенная дробь 3/8 , а значит и равная ей дробь 21/56 , может быть переведена в конечную десятичную дробь.

Наконец, разложение знаменателя дроби 31/17 представляет собой само 17 , следовательно, эту дробь нельзя обратить в конечную десятичную дробь, но можно обратить в бесконечную периодическую.

Ответ:

47/20 и 21/56 можно перевести в конечную десятичную дробь, а 7/12 и 31/17 - только в периодическую.

Обыкновенные дроби не переводятся в бесконечные непериодические десятичные дроби

Информация предыдущего пункта порождает вопрос: «Может ли при делении числителя дроби на знаменатель получиться бесконечная непериодическая дробь»?

Ответ: нет. При переводе обыкновенной дроби может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь. Поясним, почему это так.

Из теоремы о делимости с остатком ясно, что остаток всегда меньше делителя, то есть, если мы выполняем деление некоторого целого числа на целое число q , то остатком может быть лишь одно из чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Отсюда следует, что после завершения деления столбиком целой части числителя обыкновенной дроби на знаменатель q , не более чем через q шагов возникнет одна из двух следующих ситуаций:

• либо мы получим остаток 0 , на этом деление закончится, и мы получим конечную десятичную дробь;
• либо мы получим остаток, который уже появлялся ранее, после этого остатки начнут повторяться как в предыдущем примере (так как при делении равных чисел на q получаются равные остатки, что следует из уже упомянутой теоремы о делимости), так будет получена бесконечная периодическая десятичная дробь.

Других вариантов быть не может, следовательно, при обращении обыкновенной дроби в десятичную дробь не может получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Из приведенных в этом пункте рассуждений также следует, что длина периода десятичной дроби всегда меньше, чем значение знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь разберемся, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Начнем с перевода конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби. После этого рассмотрим метод обращения бесконечных периодических десятичных дробей. В заключение скажем о невозможности перевода бесконечных непериодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.

Перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби

Получить обыкновенную дробь, которая записана в виде конечной десятичной дроби, достаточно просто. Правило перевода конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь состоит из трех шагов:

• во-первых, записать данную десятичную дробь в числитель, предварительно отбросив десятичную запятую и все нули слева, если они есть;
• во-вторых, в знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в исходной десятичной дроби;
• в-третьих, при необходимости выполнить сокращение полученной дроби.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Обратите десятичную дробь 3,025 в обыкновенную дробь.

Решение.

Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025 . В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили. Итак, в числитель искомой дроби записываем 3 025 .

В знаменатель записываем цифру 1 и справа к ней дописываем 3 нуля, так как в исходной десятичной дроби после запятой находятся 3 цифры.

Так мы получили обыкновенную дробь 3 025/1 000 . Эту дробь можно сократить на 25 , получаем .

Ответ:

.

Пример.

Выполните перевод десятичной дроби 0,0017 в обыкновенную дробь.

Решение.

Без десятичной запятой исходная десятичная дробь имеет вид 00017 , отбросив нули слева получаем число 17 , которое и является числителем искомой обыкновенной дроби.

В знаменатель записываем единицу с четырьмя нулями, так как в исходной десятичной дроби после запятой 4 цифры.

В итоге имеем обыкновенную дробь 17/10 000 . Эта дробь несократима, и перевод десятичной дроби в обыкновенную закончен.

Ответ:

.

Когда целая часть исходной конечной десятичной дроби отлична от нуля, то ее можно сразу перевести в смешанное число, минуя обыкновенную дробь. Дадим правило перевода конечной десятичной дроби в смешанное число :

• число до десятичной запятой надо записать как целую часть искомого смешанного числа;
• в числитель дробной части нужно записать число, полученное из дробной части исходной десятичной дроби после отбрасывания в ней всех нулей слева;
• в знаменателе дробной части нужно записать цифру 1 , к которой справа дописать столько нулей, сколько цифр находится в записи исходной десятичной дроби после запятой;
• при необходимости выполнить сокращение дробной части полученного смешанного числа.

Рассмотрим пример перевода десятичной дроби в смешанное число.

Пример.

Представьте десятичную дробь 152,06005 в виде смешанного числа

Решение.

Число 152 до десятичной запятой есть целая часть искомого смешанного числа.

После десятичной запятой находится 06005 , после отбрасывания нуля слева получаем число 6 005 – это числитель дробной части.

А в знаменателе дробной части запишем 1 и допишем 5 нулей, так как после десятичной запятой находятся 6 цифр, то есть, в знаменателе будет 100 000 .

Так мы получили смешанное число . Дробную часть этого числа можно сократить на 5 , после этого имеем .

На этом перевод конечной десятичной дроби 152,06005 в смешанное число закончен.

Ответ:

3,75(0) в равную ей конечную десятичную дробь 3,75 . А как осуществляется обращение конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби, мы разобрали в предыдущем пункте: . Таким образом, 3,75(0)=15/4 .

Ответ:

3,75(0)=15/4 .

Переходим к переводу бесконечных периодических десятичных дробей с отличным от 0 периодом в обыкновенные дроби. В основе такого перевода лежит тот факт, что периодическую часть периодической десятичной дроби можно рассматривать как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Например, 0,(73)=0,73+0,0073+0,000073+… или 4,07(254)=4,07+ (0,00254+0,00000254+0,00000000254+…) .

Напомним, что сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b 8/9 (0,0018+0,000018+0,00000018+…)= 43/100+18/9900 .

После сложения дробей с разными знаменателями и сокращения полученной дроби, приходим к обыкновенной дроби 19/44 . На этом перевод периодической дроби в обыкновенную дробь завершен.

Ответ:

0,43(18)=19/44 .

Бесконечные непериодические десятичные дроби не переводятся в обыкновенные дроби

Выше мы выяснили, что любая обыкновенная дробь переводится либо в конечную десятичную дробь, либо в периодическую десятичную дробь. Отсюда следует, что никакая бесконечная непериодическая десятичная дробь не может быть переведена в обыкновенную дробь, так как полученную обыкновенную дробь нельзя будет перевести обратно в эту бесконечную непериодическую дробь.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.