ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными. Математическая модель - это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий.

Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики с использованием тех или иных математических методов.

Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи

Все модели можно разделить на два класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Элементы теории игры

В общем случае решение игры представляет довольно трудную задачу, причем сложность задачи и объем необходимых для решения вычислений резко возрастает с увеличением . Однако это трудности не носят принципиального характера и связаны только сочень большим объемом расчетов, который в ряде случаев может оказаться практически невыполнимым. Принципиальная сторона метода отыскания решения остается при любом одной и той же.

Проиллюстрируем это на примере игры . Дадим ей геометрическую интерпретацию - уже пространственную. Три наши стратегии , изобразим тремя точками на плоскости ; первая лежит в начале координат (рис.1). вторая и третья - на осях Ох и Оу на расстояниях 1 от начала.

Через точки проводятся оси I-I, II-II и III-III, перпендикулярные к плоскости . На оси I-I откладываются выигрыши при стратегии на осях II-II и III-III - выигрыши при стратегиях . Каждая стратегия противника изобразится плоскостью, отсекающей на осях I-I, II-II и III-III, отрезки, равные выигрышам

при соответствующих стратегия и стратегия . Построив, таким образом, все стратегии противника, мы по­лучим семейство плоскостей над треугольником (рис2) .

Для этого семейства также можно построить нижнюю границу выигрыша, как мы это делали в случае, и найти на этой границе точку N с максимальной высотой нал плоскостью . Эта высота и будет ценой игры .

Частоты стратегий в оптимальной стра­тегии будут определяться координатами (x, у) точки N, а именно:

Однако такое геометрическое построение даже для случая нелегко осуществимо и требует большой затраты времени и усилий воображения. В общем же случае игры оно переносится в - мерное пространство и теряет всякую наглядность, хотя употребление геометрической терминологии в ряде случаев может оказаться полезным. При решении игр на практике удобнее пользоваться не геометрическими аналогиями, а расчетными аналитическими методами, тем более, что для решения задачи на вычислительных машинах эти методы единственно пригодны.

Все эти методы по существу сводятся к решению задачи путем последовательных проб, но упорядочение последо­вательности проб позволяет построить алгоритм, приводящий к решению наиболее экономичным способом.

Здесь мы вкратце остановимся на одном расчетном методе решения игр - на так называемом методе «линейного программирования».

Для этого дадим сначала общую постановку задачи о нахождении решения игры . Пусть дана игра с т стратегиями игрока А и n стра­тегиями игрока В и задана платежная ма­трица

Требуется найти решение игры, т. е. две оптимальные смешанные стратегии игроков А и В

где (некоторые из чисел и могут быть равными нулю).

Наша оптимальная стратегия S* A должна обеспечивать нам выигрыш, не меньший , при любом поведении про­тивника, и выигрыш, равный , при его оптимальном пове­дении (стратегия S* B ).Аналогично стратегия S* B должна обе­спечивать противнику проигрыш, не больший , при любом нашем поведении и равный при нашем оптимальном пове­дении (стратегия S* A ).

Величина цены игры в данном случае нам неизвестна; будем считать, что она равна некоторому положительному числу. Полагая так, мы не нарушаем общности рассуждений; для того чтобы было > 0, очевидно, достаточно, чтобы все элементы матрицы были неотрицательными. Этого всегда можно добиться, прибавляя к элементам доста­точно большую положительную величину L;при этом цена игры увеличится на L, а решение не изменится.

Пусть мы выбрали свою оптимальную стратегию S* A . Тогда наш средний выигрыш при стратегии противника будет равен:

Наша оптимальная стратегия S* A обладает тем свойством, что при любом поведении противника обеспечивает выигрыш не меньший, чем ; следовательно, любое из чисел не может быть меньше . Получаем ряд условий:

(1)

Разделим неравенства (1) на положительную величину и обозначим:

Тогда условие (1) запишется виде

(2)

где - неотрицательные числа. Так как величины удовле­творяют условию

Мы хотим сделать свой гарантированный выигрыш максимально возможным; очевидно, при этом правая часть равенства (3) принимает минимальное значение.

Таким образом, задача нахождения решения игры сво­дится к следующей математической задаче: определить не­отрицательные величины , удовлетворяющие условиям (2), так, чтобы их сумма

была минимальной.

Обычно при решении задач, связанных с нахождением экстремальных значений (максимумов и минимумов), функцию дифференцируют и приравнивают производные нулю. Но такой прием в данном случае бесполезен, так как функ­ция Ф, которую нужно обратить в минимум, линейна, и ее производные по всем аргументам равны единице, т. е. нигде не обращаются в нуль. Следовательно, максимум функции достигается где-то на границе области изменения аргумен­тов, которая определяется требованием неотрицательности аргументов и условиями (2). Прием нахождения экстре­мальных значений при помощи дифференцирования непри­годен и в тех случаях, когда для решения игры опреде­ляется максимум нижней (или минимум верхней) границы выигрыша, как мы. например, делали при решении игр .Действительно, нижняя граница составлена из участков прямых линий, и максимум достигается не в точке, где производная равна нулю (такой точки вообще нет), а на границе интер­вала или в точке пересечения прямолинейных участков.

Для решения подобных задач, довольно часто встречаю­щихся на практике, в математике разработан специальный аппарат линейного программирования.

Задача линейного программирования ставится следующим образом.

Дана система линейных уравнений:

(4)

Требуется найти неотрицательные значения величин удовлетворяющие условиям (4) и вместе с тем обращающие в минимум заданную однородную линейную функцию величин (линейную форму):

Легко убедиться, что поставленная выше задача теории игр является частным случаем задачи линейного программирование при

С первого взгляда может показаться, что условия (2) не эквивалентны условиям (4), так как вместо знаков равенства они содержат знаки неравенства. Однако от знаков неравенства легко избавиться, вводя новые фиктивные неотрицательные переменные и записывая условия (2) в виде:

(5)

Форма Ф, которую нужно обратить в минимум, равна

Аппарат линейного программирования позволяет путем сравнительно небольшого числа последовательных проб подобрать величины , удовлетворяющие поставленным требованиям. Для большей ясности мы здесь продемонстрируем применение этого аппарата прямо на материале решения конкретных игр.

С.П. БОБКОВ, Д.О. БЫТЕВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Учебное пособие

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ивановский государственный химико-технологический университет

Международный университет бизнеса и новых технологий (институт)

С.П. БОБКОВ, Д.О. БЫТЕВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

для студентов высших учебных заведений.

Бобков С.П. Моделирование систем: учеб. пособие / С.П. Бобков,

Д.О. Бытев; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2008. – 156 с. - ISBN

Цель учебного пособия – дать студентам общее представление о со- временных методах моделирования технических и технико-экономических систем и объектов.

В пособии рассматриваются общие вопросы и современная методо-

логия моделирования, непрерывные и дискретные детерминированные мо-

дели объектов и систем, стохастические модели с дискретным и непрерыв- ным временем. Большое внимание уделено методам имитационного моде- лирования систем с вероятностными характеристиками. Дается обзор дру- гих подходов к моделированию сложных систем, таких как информацион- но-энтропийный, использование нейронных сетей и сетей Петри.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям подготовки 080801 «Прикладная информатика» и 230201

«Информационные системы и технологии». Кроме того, пособие может быть полезным для студентов других специальностей и направлений.

Табл.7. Ил.92. Библиогр.:10 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Иванов-

ского государственного химико-технологического университета.

Рецензенты:

кафедра прикладной математики Ивановского государственного энергетического университета; доктор физико-математических наук В.А.Соколов, (Ярославский государственный университет).

ISBN 5-9616-0268-6 © ГОУ ВПО Ивановский государст- венный химико-технологический университет», 2008

1.5. Понятие математической схемы моделирования. . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Общая методика создания математических моделей. . . . . . . . . . . 13

1.7. Основные понятия системного подхода к созданию

математических моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Математические модели технических объектов. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Компонентные функциональные уравнения объектов. . . . . 20

2.1.2. Фазовые переменные и их аналогии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Топологические уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Примеры создания моделей технических объектов. . . . . . . 25

2.1.5. Модели технологических аппаратов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Конечные автоматы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Понятие конечного автомата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Способы описания и классы конечных автоматов. . . . . . . . 32

2.2.3. Другие виды конечных автоматов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Элементы теории марковских случайных процессов. . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Понятие случайного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Дискретные цепи Маркова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Стационарное распределение вероятностей. . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. Непрерывные марковские цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. Уравнения А.Н. Колмогорова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. Потоки событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Основы теории массового обслуживания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Обобщенная структурная схема СМО. Параметры

и характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. Разомкнутые СМО с ожиданием и терпеливыми заявками. 58

3.2.3. Предельные варианты разомкнутой СМО. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4.Общий случай разомкнутой СМО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. Замкнутые СМО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. Сети массового обслуживания

с простейшими потоками событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Вероятностные автоматы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование является универсальным методом получения и использо- вания знаний об окружающем мире. Моделирование всегда используется чело- веком в целенаправленной деятельности, особенно в исследовательской. В со- временных условиях усиливается роль и значение математического моделиро- вания, которое с развитием средств вычислительной техники часто стали назы- вать компьютерным.

Математические (компьютерные) модели, в силу своей логичности и строгого формального характера, позволяют выявить основные факторы, опре- деляющие свойства изучаемых систем и исследовать их реакции на внешние воздействия и изменения параметров. Часто математические модели проще и удобнее использовать, чем натуральные (физические). Они позволяют прово- дить вычислительные эксперименты, реальная постановка которых затруднена или невозможна.

Изучение основных принципов математического моделирования является неотъемлемой частью подготовки специалистов в технических областях дея- тельности. Дисциплины, связанные с изучением основных аспектов моделиро- вания объектов и систем в обязательном порядке входят в соответствующие учебные планы, являясь компонентами федеральных образовательных стандар- тов.

Целью данного учебного пособия является последовательное изложение современных методов моделирования. Пособие предназначено главным обра- зом для студентов, обучающихся по специальностям и направлениям «Инфор- мационные системы» и «Прикладная информатика (по отраслям». Однако, учи- тывая опыт преподавания подобных дисциплин в технических вузах, авторы сочли целесообразным не ограничиваться рассмотрением только информаци- онных систем, но и включить в текст рассмотрение технических и технико- экономических систем и объектов.

Материал пособия выстроен следующим образом. В первой главе рас- сматриваются общие вопросы и современная методология моделирования, ис- пользование системного подхода при создании математических моделей. Вто- рая глава посвящена рассмотрению непрерывных и дискретных детерминиро- ванных моделей объектов и систем. Предлагается использование метода анало- гий при синтезе и анализе моделей технических объектов различной физиче- ской природы. В третьей главе изучаются стохастические модели с дискретным и непрерывным временем. Большое внимание в пособии уделено методам ими- тационного моделирования систем с вероятностными характеристиками, что составляет содержание четвертой главы. В пятой главе дается обзор других подходов к моделированию сложных систем, таких как информационно- энтропийный, использование нейронных сетей и сетей Петри.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов. Для того чтобы использовать математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математики, то есть описать в виде системы уравнений и неравенств .

Математические методы выступают как способ получения новых знаний об объекте. Это относится не только к системам. Оглядываясь назад, обращаясь к истории науки, исследователь видит, что всю динамику науки можно рассматривать как непрерывный процесс построения новых, более совершенных и мощных моделей. Укоренилось представление, что «всякое познание является моделированием» (Н.Амосов). Под воздействием общей теории систем произошло переосмысление, переоценка и классических представлений. Понятие математического моделирования стало толковаться настолько расширительно, что включило в себя всю формализацию и математизацию знания. «Математическая модель - это лишь специальный способ описания, позволяющий для анализа использовать формально-логический аппарат математики » (Моисеев Н.Н., 1973).

Но модели сложных и больших систем - это нечто иное принципиально, качественно. Аналитического, формально-логического аппарата здесь уже недостаточно. В рамках этой работы под математической моделью понимается любая математическая конструкция, являющаяся большой и/или сложной динамической системой и обладающая свойством структурно-функционального изоморфизма по отношению к исследуемой системе (системе-оригиналу).

Между моделированием и получением количественного или качественного результата математическими методами существует глубокое различие. Применение математики становится возможным тогда, когда становится ясно, что и с какой целью определять, оценивать, измерять, что и как обрабатывать математическими методами. Модель для этих задач не служит. Математическое моделирование − это не приложение математического инструмента к объекту, не решение конкретных задач математическими средствами. Это построение формальными методами и средствами абстрактного объекта изофункционального исследуемому объекту для последующего приложения математических методов количественного и качественного анализа. В то же время, использование в моделировании математики в качестве языка (метатеории) придает полученным выводам доказательную силу. Деятельность по построению моделей не принадлежит математике и выполняется (должна выполняться) не математиками, а специалистами в конкретной области знания.

Для построения модели системы нужны те содержательные эмпирические представления, те описательные науки, которые предшествуют появлению формализованных наук. Эти описания не входят в виде составных частей в формализованную науку, а лишь облегчают процесс формализации, обогащают эвристические возможности формализации. Модель не требует предварительного описания моделируемого объекта, потому что она сама является формой описания.

Отношение модели и реальности иное, чем отношение реальности и математической формулы. Формула − это иероглиф, знак действительности. Модель − это сама действительность. Можно возразить, что физик или математик отлично чувствует динамику, реальные отношения, которые скрываются за формулой, не воспринимает ее как иероглиф, а, кроме того, современная математика − это далеко не просто и не только формула. И все же, формулами ученый мыслить не может. Иное дело модель. Она обладает динамикой, она живет (не только в переносном, порой и в прямом смысле слова). Исследователь может мыслить моделями, он получает возможность образного мышления. В мире моделей смыкается художественное и логическое восприятие действительности.

Математическое моделирование не исключает использование классической математики, более того, в составе модели математика получает ту силу и всеобщность проникновения, которой была лишена в классическую эпоху.

Если мы рассматриваем некоторый объект как целое, заданное своими внешними свойствами, мы можем эффективно использовать аналитические способы описания для процессов, происходящих вне этого целого. Но стоит поставить задачу внутреннего описания большой и/или сложной системы, описания взаимодействий между ее частями, элементами и подсистемами методами классической математики, как мы немедленно сталкиваемся с непреодолимыми трудностями.

С другой стороны, попытка описать процедурными методами некоторую систему, в общем, не проникая в ее внутреннее устройство, в ее структуру и функции элементов, как правило, не приведет к значимому результату. Каждому методу свое место.

В математике аналитических структур мы должны сначала понять, а потом описать. В моделировании, в математике алгоритмических процессов, сам процесс описания того, что еще не понято, нередко становится средством понимания.

Как методология научных исследований математическое моделирование сочетает в себе опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики и системного программирования для решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объектов сложной природы – единый сквозной цикл разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных расчетов показателей эффективности объекта. Результатом разработок бывает система математических моделей, которые описывают качественно разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом как сложной системы в различных условиях. Вычислительные эксперименты с математическими моделями дают исходные данные для оценки показателей эффективности объекта. Поэтому математическое моделирование как методология организации научной экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйственных решений. (В первую очередь это относится к моделированию экономических систем).По своей сути математическое моделирование есть метод решения новых сложных проблем, поэтому исследования по математическому моделированию должны быть опережающими. Следует заранее разрабатывать новые методы, готовить кадры, умеющие со знанием дела применять эти методы для решения новых практических задач.Математическая модель может возникнуть тремя путями: 1. В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими.2. В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем некоторой общей модели. Такие модели называются асимптотическими.3. В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей. Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной стороны отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться основным или второстепенным.Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики. Схема построения математических моделей следующая: 1. Выделение параметра или функции, подлежащей исследованию.2. Выбор закона, которому подчиняется эта величина.3. Выбор области, в которой требуется изучить данное явление.

Теоретическая дисциплина становится точной наукой, когда она оперирует количественными характеристиками. За качественным описанием модели следует вторая фаза абстрагирования − количественное описание модели. Еще Галилео Галилей сказал, что книга природы написана на языке математики. Иммануил Кант провозгласил, что «во всякой науке столько истины, сколько в ней математики». А Давиду Гильберту принадлежат слова: «Математика − основа всего точного естествознания».

Математическое моделирование − это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов − математических моделей.

Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения – реакции , в зависимости от параметров объекта-оригинала , входных воздействий , начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала , которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.

Принимая во внимание, изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж. Коэном.

Определение 4.1. Математическая модель − это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами («грамматика» и «синтаксис» математических выражений) приводят к формированию абстрактных математических объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математической моделью.

Математическая модель представляет собой количест-венную формализацию абстрактных представлений об изучаемом явлении или объекте.

Математические модели могут быть представлены различны­ми математическими средствами:

· действительными или комплексными величинами;

· векторами, матрицами;

· геометрическими образами;

· не­равенствами;

· функциями и функционалами;

· множествами, различными уравнениями;

· функциями распределения вероятностей, статистиками и т.д.

«В физической науке − писал Томпсон, − при изучении любого объекта первый и наиболее существенный шаг состоит в том, чтобы найти принципы численной оценки и практические методы из­мерения некоторого количества, присущего этому объекту».

Переход от первой ко второй фазе абстрагирования, т.е. от физической модели к математической часто освобождает модель от специфических черт, присущих данному изучаемому явлению или объ­екту. Очень многие математические модели, лишившись физической или технической оболочки, приобретают универсальность, т.е. спо­собность количественного описания различных по своей физической природе процессов или по техническому назначению объектов. В этом проявляется одно из важнейших свойств математической форма­лизации предмета исследования, благодаря которому при постановке и решении прикладных задач в большинстве случаев не требуется создавать новый математический аппарат, а можно воспользоваться существующим, с необходимыми для конкретной ситуации усовершенс­твованием и интерпретацией. Таким образом, одна математическая модель может быть использована для решения большого числа част­ных, конкретных задач и в этом смысле она выражает одно из глав­ных практических назначений теории.

Конечно, построение физической модели часто неразрывно свя­зано с построением математической модели и оба этих процесса представляют две стороны единого процесса абстрагирования.

Нас окружают сложные технические объекты (технические системы), созданные человеком . В процессе проектирования новой или модернизации существующей технической системы решаются задачи расчета параметров и исследования процессов в этой системе. При проведении многовариантных расчетов реальную систему заменяют моделью. В широком смысле модель определяют как отражение наиболее существенных свойств объекта.

Определение 4 .2 . Математическая модель технического объекта - совокупность математических объектов и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя (инженера).

Модель может быть представлена различными способами.

Формы представления модели

· инвариантная − запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели;

· аналитическая − запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели;

· алгоритмическая − запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритм;

· схемная (графическая) − представление модели на некотором графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы, диаграммы и т.п.);

· физическая;

· аналоговая;

Математическое моделирование является наиболее универсальным описанием процессов.

В понятие математического моделирования иногда включают и процесс решения задачи на ЭВМ (что в принципе не совсем верно, так как решение задачи на ЭВМ предусматривает кроме всего прочего создание алгоритмической и программной модели, реализующей вычисление в соответствии с математической моделью).

Определение 4.3. ММ− это образ исследуемого объекта, создаваемый в уме субъекта-исследователя с помощью определенных формальных (математических) систем с целью изучения (оценки) определенных свойств данного объекта.

Пусть некоторый объект Q обладает некоторым интересующим нас свойством C 0 .

Для получения математической модели, описывающей данное свойство необходимо:

1. Определить показатель данного свойства (т.е. определить меру свойства в некоторой системе измерения ).

2. Установить перечень свойств С 1 , ..., С m, с которыми свойство С 0 связано некоторыми отношениями (это могут быть внутренние свойства объекта и свойства внешней среды, влияющие на объект).

3. Описать в избранной форматной системе свойства внешней среды, как внешние факторы х 1 , ..., х n , влияющие на искомый показатель Y , внутренние свойства объекта, как параметры z 1 , ..., z r , а неучтенные свойства отнести к группе неучитываемых факторов .

4. Выяснить, если это возможно, закономерные отношения между Y и всеми учитываемыми факторами и параметрами, и составить математическое описание (модель ).

Реальный объект характеризуется следующим функциональным отношением между показателями его свойств:

Однако в модели отображаются только те факторы и параметры оригинального объекта, которые имеют существенное значение для решения исследуемой проблемы. Кроме того, измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, вызываемые неточностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов. В силу этого ММ является только приближенным описанием свойств изучаемого объекта.

Математическую модель можно определить еще и как абстракцию изучаемой реальной сущности .

Модели обычно отличаются от оригиналов по природе своих внутренних параметров. Подобие заключается в адекватности реакции Y модели и оригинала на изменение внешних факторов . Поэтому в общем случае математическая модель представляет собой функцию

где - внутренние параметры модели, адекватные параметрам оригинала.

В зависимости от применяемых методов математического описания изучаемых объектов (явлений, процессов) ММ бывают аналитические, логические, графические, автоматные и т.д.

Главным вопросом математического моделирования является вопрос о том, как точно составленная ММ отражает отношения между учитываемыми факторами, параметрами и показателем Y оцениваемого свойства реального объекта, т.е. на сколько точно уравнение (4.2) соответствует уравнению (4.1). Иногда уравнение (4.2) может быть получено сразу в явном виде, например, в виде системы дифференциальных уравнений, или в виде иных явных математических соотношений.

В более сложных случаях вид уравнения (4.2) неизвестен и задача исследователя состоит, прежде всего, в том, чтобы найти это уравнение. При этом к числу варьируемых параметров , относят все учитываемые внешние факторы и параметры исследуемого объекта, а к числу искомых параметров относят внутренние параметры модели , связывающие факторы , с показателем Y " наиболее правдоподобным отношением. Решением этой проблемы занимается теория эксперимента. Суть этой теории состоит в том, чтобы, основываясь на выборочных измерениях значений параметров , и показателя Y ", найти параметры , при которых функция (4.2) наиболее точно отражает реальную закономерность (4.1).

ВВЕДЕНИЕ

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе «рождение» этой методологии пришлось на конец 40-х-начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них - появление ЭВМ (компьютеров), хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Вторая - беспрецедентный социальный заказ - выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно «осуществлены» в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой в развитых странах ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается (сказанное справедливо и по отношению к некоторым социально-политическим проектам).

Сейчас математическое моделирование вступает в третий принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными «ресурсами» нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако информация как таковая зачастую мало что дает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за их исполнением. Нужны надежные способы переработки информационного «сырья» в готовый «продукт», т. е. в точное знание. История методологии математического моделирования убеждает: она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в «единственном экземпляре». Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое (шире - информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса.

Рассматривая вопрос шире, напомним, что моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных «специальностей» - исследователей и предпринимателей, политиков и военачальников. Привнесение в эти сферы точного знания помогает ограничить интуитивное умозрительное «моделирование», расширяет поле приложений рациональных методов. Конечно же, математическое моделирование плодотворно лишь при выполнении хорошо известных профессиональных требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, апостериорный анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т. д. Если же говорить о моделировании систем с участием «человеческого фактора», т. е. трудно формализуемых объектов, то к этим требованиям необходимо добавить аккуратное разграничение математических и житейских терминов (звучащих одинаково, но имеющих разный смысл), осторожное применение уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен путь «от задачи к методу», а не наоборот) и ряд других.

Решая проблемы информационного общества, было бы наивно уповать только на мощь компьютеров и иных средств информатики. Постоянное совершенствование триады математического моделирования и ее внедрение в современные информационно-моделирующие системы - методологический императив. Лишь его выполнение дает возможность получать так нужную нам высокотехнологичную, конкурентоспособную и разнообразную материальную и интеллектуальную продукцию.

Выбранная мною тема является актуальной в современной математике и ее приложениях. В современном научном подходе в исследовании естественных, технических и социально-экономических объектов возрастает значение математического моделирования происходящих в них процессов. Натурное изучение поведения объектов и систем в таких режимах и условиях невозможно либо затруднительно, что вынуждает применять методы математического моделирования.

Цель данной курсовой работы это - научиться использовать методы математического моделирования для исследования различных природных социальных процессов.

Задачи поставленные для достижения цели:

n Изучить теоретические вопросы математического моделирования, классификация моделей.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Моделирование - метод научного исследования явлений, процессов, объектов, устройств или систем (обобщенно – объектов исследований), основанный на построении и изучении моделей с целью получения новых знаний, совершенствования характеристик объектов исследований или управления ими.

Модель - материальный объект или образ (мысленный или условный: гипотеза, идея, абстракция, изображение, описание, схема, формула, чертеж, план, карта, блок-схема алгоритма, ноты и т.п.), которые упрощенно отображают самые существенные свойства объекта исследования.

Любая модель всегда проще реального объекта и отображает лишь часть его самых существенных черт, основных элементов и связей. По этой причине для одного объекта исследования существует множество различных моделей. Вид модели зависит от выбранной цели моделирования.

В основе термина «модель» лежит латинское слово modulus - мера, образец. Модель – это заместитель реального объекта исследования. Модель всегда проще исследуемого объекта. При изучении сложных явлений, процессов, объектов не удается учесть полную совокупность всех элементов и связей, определяющих их свойства.

Но все элементы и связи в создаваемой модели и не следует учитывать. Нужно лишь выделить наиболее характерные, доминирующие составляющие, которые в подавляющей степени определяют основные свойства объекта исследования. В результате объект исследования заменяется некоторым упрощенным подобием, но обладающим характерными, главными свойствами, аналогичными свойствам объекта исследования. Появившийся вследствие проведенной подмены новый объект (или абстракция) принято называть моделью объекта исследования.

Для составления математических моделей можно использовать любые математические средства - дифференциальное и интегральное исчисления, регрессионный анализ, теорию вероятностей, математическую статистику и т. д. Математическая модель представляет собой совокупность формул, уравнений, неравенств, логических условий и т.д. Использованные в математическом моделировании математические соотношения определяют процесс изменения состояния объекта исследования в зависимости от его параметров, входных сигналов, начальных условий и времени. По существу, вся математика создана для формирования математических моделей.

О большом значении математики для всех других наук (в том числе и моделирования) говорит следующий факт. Великий английский физик И.Ньютон (1643-1727 г.г.) в середине 17-го века познакомился с работами Рене Декарта и Пьера Гассенди. В этих работах утверждалось, что все строение мира может быть описано математическими формулами. Под влиянием этих трудов И.Ньютон стал усиленно изучать математику. Сделанный им вклад в физику и математику широко известен.

Математическое моделирование - метод изучения объекта исследования, основанный на создании его математической модели и использовании её для получения новых знаний, совершенствования объекта исследования или управления объектом.

Для математического моделирования характерно то, что процессы функционирования объекта записывают в виде математических соотношений (алгебраические, интегральные), записывают в виде логических условий.

Дифференциальные уравнения являются одним из основных средств составления математических моделей, наиболее широко применяемых при решении математических задач. При исследовании физических процессов, решении различных прикладных задач, как правило, не удается непосредственно найти законы, которые связывают величины, характеризующие исследуемые явления. Обычно легче устанавливаются зависимости между теми же величинами и их производными или дифференциалами. Соотношения такого рода и называются дифференциальными уравнениями. Возможности и правила составления дифференциальных уравнений определяются знаниями законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике могут использоваться законы Ньютона, в теории скоростей химических реакций – закон действия масс и т.д. Однако на практике часто встречаются случаи, когда законы, которые могли бы позволить составить дифференциальное уравнение, неизвестны. Тогда прибегают к различным упрощающим предположениям, касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров-переменных. К дифференциальным уравнениям в таком случае приводит предельный переход. Вопрос соответствия математической модели и реального явления решается на основе анализа результатов, опытов и сравнения их с поведением решения полученного дифференциального уравнения

Математическая модель технического объекта - совокупность математических объектов и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя (инженера).

Модель может быть представлена различными способами.

Формы представления модели:

инвариантная - запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели;

аналитическая - запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели;

алгоритмическая - запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма.

схемная (графическая) - представление модели на некотором графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы, диаграммы и т.п.);

физическая

аналоговая

Наиболее универсальным является математическое описание процессов - математическое моделирование.

В понятие математического моделирования включают и процесс решения задачи на ЭВМ.

Обобщенная математическая модель

Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами.

Элементами обобщенной математической модели являются (рис. 1): множество входных данных (переменные) X,Y;

X - совокупность варьируемых переменных; Y - независимые переменные (константы);

математический оператор L, определяющий операции над этими данными; под которым понимается полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных (переменные);

множество выходных данных (переменных) G(X,Y); представляет собой совокупность критериальных функций, включающую (при необходимости) целевую функцию.

Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования.

Множество варьируемых параметров (переменных) X образует пространство варьируемых параметров Rx (пространство поиска), которое является метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров.

Множество независимых переменных Y образуют метрическое пространство входных данных Ry. В том случае, когда каждый компонент пространства Ry задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства Ry.

Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект

Это могут быть:

• - технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования;
• - физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования;
• - тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования.

Выходные данные рассматриваемой обобщенной модели образуют метрическое пространство критериальных показателей RG.

Схема использования математической модели в системе автоматизированного проектирования показана на рис.2.

Требования к математической модели

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта.

Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей - сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.

Универсальность - определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти.

Противоречивость требований к модели обладать широкой областью адекватности, высокой степени универсальности и высокой экономичности обусловливает использование ряда моделей для объектов одного и того же типа.

Методы получения моделей

Получение моделей в общем случае - процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. В тоже время такие операции, как расчет численных значений параметров модели, определение областей адекватности и другие, алгоритмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов проектируемой системы обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных экспериментальных исследований.

Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

Экспериментальные методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Несмотря на эвристический характер многих операций моделирование имеет ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов. Достаточно общий характер имеют

методика макро моделирования,

математические методы планирования экспериментов,

алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения областей адекватности.

Использование математических моделей

Вычислительная мощность современных компьютеров в сочетании с предоставлением пользователю всех ресурсов системы, возможностью диалогового режима при решении задачи и анализе результатов позволяют свести к минимуму время решения задачи.

При составлении математической модели от исследователя требуется:

изучить свойства исследуемого объекта;

умение отделить главные свойства объекта от второстепенных;

оценить принятые допущения.

Модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам, называют алгоритмом.

Алгоритм решения задачи на ЭВМ связан с выбором численного метода. В зависимости от формы представления математической модели (алгебраическая или дифференциальная форма) используются различные численные методы.

Суть экономико-математического моделирования заключается в описании социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти методы, как отмечено выше, представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики.

Поэтому классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав. Хотя общепринятая классификация этих дисциплин пока не выработана, с известной степенью приближения в составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:

• * экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем;
• * математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины -- выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, теория индексов и др.;
• * математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.;
• * методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, в том числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления, программно-целевые методы планирования и управления, теорию и методы управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию и методы принятия решений, теорию расписаний. В оптимальное (математическое) программирование входят в свою очередь линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, дробно-линейное программирование, параметрическое программирование, сепарабельное программирование, стохастическое программирование, геометрическое программирование;
• * методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для рыночной (конкурентной) экономики. К первым можно отнести теорию оптимального функционирования экономики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др. Ко вторым -- методы, позволяющие разработать модели свободной конкуренции, модели капиталистического цикла, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и т. д.

Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики;

* методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное моделирование), деловые игры. Сюда можно отнести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению.

Перейдем теперь к вопросам классификации экономико-математических моделей, другими словами, математических моделей социально-экономических систем и процессов.

Единой системы классификации таких моделей в настоящее время также не существует, однако обычно выделяют более десяти основных признаков их классификации, или классификационных рубрик. Рассмотрим некоторые из этих рубрик.

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления. Различные типы прикладных экономико-математических моделей как раз и рассматриваются в данном учебном пособии.

По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на макроэкономические и микроэкономические. Хотя между ними и нет четкого разграничения, к первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения, выделяют балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования; трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления; имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов и др.

По типу информации, используемой в модели, экономике-математические модели делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.

По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и динамические, описывающие экономические системы в развитии.

По учету фактора неопределенности модели распадаются на детерминированные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора.

Экономико-математические модели могут классифицироваться также по характеристике математических объектов, включенных в модель, другими словами, по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели,

Основные понятия математического моделирования модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.

Наконец, по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам выделяют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получаются модели, предназначенные для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений; в качестве примера дескриптивных моделей можно привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определенных критериев. В частности, все оптимизационные модели относятся к типу нормативных; другим примером могут служить нормативные модели уровня жизни.

Рассмотрим в качестве примера экономико-математическую модель межотраслевого баланса (ЭММ МОБ). С учетом приведенных выше классификационных рубрик это прикладная, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, детерминированная, балансовая, матричная модель; при этом существуют как статические методы так и динамические

Линейное программирование -- это частный раздел оптимального программирования. В свою очередь оптимальное (математическое) программирование -- раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении.

Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно- хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение X = (xi, Х2 хп), где Ху, (у = 1. я) -- его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.

Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор некоторого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традиционные критерии оптимальности: «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и др. Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т.е. выбор X осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D; эту область называют также областью определения задачи. общая задача оптимального (математического) программирования, иначе -- математическая модель задачи оптимального программирования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности и системности.

Вектор X (набор управляющих переменных Xj, j = 1, п) называется допустимым решением, или планом задачи оптимального программирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А тот план X (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции f(xi, *2, ..., хп), называется оптимальным планом (оптимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования.

Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности и оптимальности экономико- математического моделирования и решением задачи оптимального программирования. Задачи оптимального программирования в наиболее общем виде классифицируют по следующим признакам.

• 1. По характеру взаимосвязи между переменными --
• а) линейные,
• б) нелинейные.

В случае а) все функциональные связи в системе ограничений и функция цели -- линейные функции; наличие нелинейности хотя бы в одном из упомянутых элементов приводит к случаю б).

• 2. По характеру изменения переменных --
• а) непрерывные,
• б) дискретные.

В случае а) значения каждой из управляющих переменных могут заполнять сплошь некоторую область действительных чисел; в случае б) все или хотя бы одна переменная могут принимать только целочисленные значения.

• 3. По учету фактора времени --
• а) статические,
• б) динамические.

В задачах а) моделирование и принятие решений осуществляются в предположении о независимости от времени элементов модели в течение периода времени, на который принимается планово-управленческое решение. В случае б) такое предположение достаточно аргументированно принято не может быть и необходимо учитывать фактор времени.

• 4. По наличию информации о переменных --
• а) задачи в условиях полной определенности (детерминированные),
• б) задачи в условиях неполной информации,
• в) задачи в условиях неопределенности.

В задачах б) отдельные элементы являются вероятностными величинами, однако известны или дополнительными статистическими исследованиями могут быть установлены их законы распределения. В случае в) можно сделать предположение о возможных исходах случайных элементов, но нет возможности сделать вывод о вероятностях исходов.

• 5. По числу критериев оценки альтернатив --
• а) простые, однокритериальные задачи,
• б) сложные, многокритериальные задачи.

В задачах а) экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности или удается специальными процедурами (например, «взвешиванием приоритетов»)