Как интегрировать рациональные дроби. Интегрирование дробно-рациональной функции
Одним из важнейших классов функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, является класс рациональных функций.
Определение 1.
Функция вида
где
-
многочлены степеней
n
и
m
называется рациональной. Целая
рациональная функция, т.е. многочлен,
интегрируется непосредственно. Интеграл
от дробно-рациональной функции можно
найти путем разложения на слагаемые,
которые стандартным образом преобразуются
к основным табличным интегралам.
Определение 2.
Дробь
называется
правильной, если степень числителя
n
меньше степени знаменателя
m
.
Дробь, у которой степень числителя
больше или равна степени знаменателя,
называется неправильной.
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления многочлена на многочлен «столбиком», подобно делению чисел.
Пример.
Представим дробь
в виде суммы многочлена и правильной
дроби:
x - 1
3
3
3
Первое слагаемое
в частном получается как результат
деления старшего члена
,
делимого на старший членх
делителя. Затем умножаем
на делительх-1
и полученный результат вычитаем из
делимого; аналогично находятся остальные
слагаемые неполного частного.
Выполнив деление многочленов, получим:
Это действие называется выделением целой части.
Определение 3. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:
I.
II.
(K=2,
3, …).
III.
где квадратный трехчлен
IV.
где К=2, 3, …; квадратный трехчлен
не имеет действительных корней.
а) разложить
знаменатель
на простейшие действительные множители
(согласно основной теореме алгебры это
разложение может содержать линейные
двучлены вида
и квадратные трехчлены
,
не имеющие корней);
б) написать схему
разложения данной дроби на сумму
простейших дробей. При этом каждому
сомножителю вида
соответствуетk
слагаемых видов I
и II:
каждому сомножителю
вида
соответствует
е слагаемых видовIII
и IV:
Пример.
Записать схему
разложения дроби
в сумму простейших.
в) выполнить сложение полученных простейших дробей. Записать равенство числителей полученной и исходной дробей;
г) найти коэффициенты
соответствующего разложения:
(методы решения будут рассмотрены
ниже);
д) найденные значения коэффициентов подставить в схему разложения.
Интегрирование всякой правильной рациональной дроби после разложения на простейшие слагаемые сводится к нахождению интегралов одного из типов:
(k и e =2, 3, …).
Вычисление интеграла сводится к формулеIII:
интеграла - к формулеII:
интеграл можно найти по правилу, указанному в теории интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен;- путем преобразований, показанных ниже в примере 4.
Пример 1.
а) разложим знаменатель на множители:
б) напишем схему разложения подынтегральной функции на слагаемые:
в) выполним сложение простейших дробей:
Запишем равенство числителей дробей:
г) для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C существуют два метода.
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х , поэтому можно составить соответствующую систему уравнений. В этом заключается один из методов решения.
Коэффициенты
при
свободные члены (коэф. при ):4А=8.
Решив систему, получим А=2 , В=1 , С= - 10 .
Другой метод - частных значений будет рассмотрен в следующем примере;
д) подставим найденные значения в схему разложения:
Подставляя под знак интеграла полученную сумму, и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем:
Пример 2.
Тождество есть равенство, справедливое при любых значениях входящих в него неизвестных. На этом основан метод частных значений. Можно придавать х любые значения. Удобнее для вычислений брать те значения, которые обращают в нуль какие-либо слагаемые в правой части равенства.
Пусть х = 0 . Тогда 1 = А 0(0+2)+В 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).
Аналогично при х = - 2 имеем 1= - 2В*(-3 ), при х = 1 имеем 1 = 3А .
Следовательно,
Пример 3.
г) сначала воспользуемся методом частных значений.
Пусть х = 0 , тогда 1 = А 1, А = 1 .
При х = - 1 имеем - 1+4+2+1 = - В(1+1+1) или 6 = - 3В , В = - 2 .
Для нахождения коэффициентов С и D нужно составить еще два уравнения. Для этого можно взять любые другие значения х , например х = 1 и х = 2 . Можно воспользоваться первым методом, т.е. приравнять коэффициенты при каких-либо одинаковых степенях х , например при и. Получим
1 = А+В+С и 4 = С + D – В.
Зная А = 1 , В = -2 , найдем С = 2 , D = 0 .
Таким образом, при вычислении коэффициентов можно сочетать оба метода.
Последний интеграл находим отдельно по правилу, указанному в методе веления новой переменной. Выделим полный квадрат в знаменателе:
положим,
тогда
Получим:
=
Подставляя в предыдущее равенство, найдем
Пример 4.
Найти
б)
д)
Интегрируя, имеем:
Первый интеграл преобразуем к формуле III:
Второй интеграл преобразуем к формуле II:
В третьем интеграле
заменим переменную:
(При выполнении
преобразований воспользовались формулой
тригонометрии
Найти интегралы:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Вопросы для самопроверки.
Какие из данных рациональных дробей являются правильными:
2. Верно ли записана схема разложения дроби на сумму простейших дробей?
Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.
Пример 1. Шаг 2.
.
Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:
Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:
В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:
.
Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
.
Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:
Решаем полученную систему:
Итак, , отсюда
.
Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:
Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем.
2.,
5.
,
3.
,
6.
.
В интегралах 1-3 качествеu принимают. Тогда, послеn -кратного применения формулы (19) придем к одному из табличных интегралов
,
,
.
В интегралах 4-6 при дифференцировании
упроститься трансцендентный множитель
,
или
,
который следует принять заu
.
Вычислить следующие интегралы.
Пример 7.
Пример 8.
Приведение интегралов к самому себе
Если подынтегральная функция
имеет
вид:
,
,
и так далее,
то после двукратного интегрирования по частям получим выражение, содержащее исходный интеграл :
,
где
- некоторая постоянная.
Разрешая полученное уравнение относительно , получим формулу для вычисления исходного интеграла:
.
Этот случай применения метода интегрирования по частям называется «приведение интеграла к самому себе ».
Пример 9.
Вычислить интеграл
.
В правой части стоит исходный интеграл . Перенеся его в левую часть, получим:
.
Пример 10.
Вычислить интеграл
.
4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей
Определение. Простейшими правильными дробями I , II и III типов называются следующие дроби:
I . ;
II
.
;
(
- целое положительное число);
III
.
;
(корни знаменателя комплексные, то
есть:
.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей.
I
.
;
(20)
II . ; (21)
III
.
;
Преобразуем числитель дроби таким
образом, чтобы выделить в числителе
слагаемое
,
равное производной знаменателя.
Рассмотрим первый из двух полученных интегралов и сделаем в нем замену:
Во втором интеграле дополним знаменатель до полного квадрата:
Окончательно, интеграл от дроби третьего типа равен:
=
+
.
(22)
Таким образом, интеграл от простейших дробей I-го типа выражается через логарифмы,II–го типа – через рациональные функции,III-го типа – через логарифмы и арктангенсы.
4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций
Одним из классов функций, которые имеют интеграл, выраженный через элементарные функции, является класс алгебраических рациональных функций, то есть функций, получающихся в результате конечного числа алгебраических операций над аргументом.
Всякая рациональная функция
может
быть представлена в виде отношения двух
многочленов
и
:
. (23)
Будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.
Дробь вида (23) называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть,m < n . В противном случае –неправильной .
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:
, (24)
где
- многочлен,- правильная дробь, причем степень
многочлена
- не выше степени (n
-1).
Пример.
Так как интегрирование многочлена сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
В алгебре доказано, что всякая правильная
дробь
разлагается
на сумму рассмотренных вышепростейших
дробей, вид которых определяется корнями
знаменателя
.
Рассмотрим три частных случая. Здесь
и далее будем считать, что коэффициент
при старшей степени знаменателя
равен
единице=1,
то есть
многочлен приведенный
.
Случай 1.
Корни знаменателя, то есть,
корни
уравнения
=0,
действительны и различны. Тогда
знаменатель представим в виде произведения
линейных множителей:
а правильная дробь разлагается на простейшие дроби I-готипа:
, (26)
где
–
некоторые постоянные числа, которые
находятся методом неопределенных
коэффициентов.
Для этого необходимо:
1. Привести правую часть разложения (26) к общему знаменателю.
2. Приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях тождественных многочленов,
стоящих в числителе левой и правой
частей. Получим систему линейных
уравнений для определения
.
3. Решить полученную систему и найти
неопределенные коэффициенты
.
Тогда интеграл дробно-рациональной функции (26) будет равен сумме интегралов от простейших дробей I-готипа, вычисляемых по формуле (20).
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Разложим знаменатель на множители, используя теорему Виета:
Тогда, подынтегральная функция разлагается на сумму простейших дробей:
.
х :
Запишем систему трех уравнений для
нахождения
х
в левой и
правой частях:
.
Укажем более простой способ нахождения неопределенных коэффициентов, называемый методом частных значений .
Полагая в равенстве (27)
получим
,
откуда
.
Полагая
получим
.
Наконец, полагая
получим
.
.
Случай 2.
Корня знаменателя
действительны,но среди них есть кратные (равные)
корни. Тогда знаменатель представим в
виде произведения линейных множителей,
входящих в произведение в той степени,
какова кратность соответствующего
корня:
где
.
Правильная дробь будет разлагаться сумму дробейI–го иII-го типов. Пусть, например,- корень знаменателя кратностиk , а все остальные (n - k ) корней различны.
Тогда разложение будет иметь вид:
Аналогично, если существуют другие кратные корни. Для некратных корней в разложение (28) входят простейшие дроби первого типа.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей первого и второго рода с неопределенными коэффициентами:
.
Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:
В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х :
Запишем систему четырех уравнений для
нахождения
и.
Для этого приравняем коэффициенты при
одинаковых степеняхх
в левой и
правой части
.
Случай 3.
Среди корней знаменателя
есть
комплексные однократные корни. То есть,
в разложение знаменателя входят множители
второй степени
,
не разложимые на действительные линейные
множители, причем они не повторяются.
Тогда в разложении дроби каждому такому множителю будет соответствовать простейшая дробь IIIтипа. Линейным множителям соответствуют простейшие дробиI–го иII-го типов.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
.
.
«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».
Г.Х.Харди
В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.
2.1.1. Дробно-рациональные функции
Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:
где и – многочлены.
Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида
где – действительные числа. Например,
– многочлен первой степени;
– многочлен четвертой степени и т.д.
Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».
Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:
а) , б) .
Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем
Таким образом, получаем
.
б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:
В результате, получаем
.
Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.
2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:
3) , |
4) , |
где – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.
Начнём с интегралов вида
.
Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида
или .
Пример 2.1.2. Найти интегралы:
а) , б) .
Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
Отсюда находим
б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:
Таким образом,
.
Для нахождения интеграла
можно выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой сводится к виду
,
а второй – к рассмотренному выше.
Пример 2.1.3. Найти интегралы:
.
Решение . Заметим, что . Выделим в числителе производную знаменателя:
Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки :
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
Окончательно, получаем
2.1.3. Разложение правильной рациональный
дроби
на сумму простейших дробей
Любую правильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами
Контрольную работу на интегрирование функций, в том числе и рациональных дробей задают студентам 1, 2 курсов. Примеры интегралов в основном будут интересны для математиков, экономистов, статистов. Данные примеры задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Условия следующих примеров "Найти интеграл" или "Вычислить интеграл", поэтому для экономии места и Вашего времени их не выписывали.
Пример 15. Мы пришли к интегрированию дробно-рациональных функций . Они занимают особое место среди интегралов, поскольку требуют много времени на вычисление и помогают преподавателям проверить Ваши знания не только по интегрированию. Для упрощения функции под интегралом добавим и вычтем в числителе выражение, которое позволит разбить функцию под интегралом на две простые
В результате один интеграл находим довольно быстро, во втором нужно дробь разложить на суму элементарных дробей
При сведении к общему знаменателю получим такие числительные
Далее раскрываем скобки и группируем
Приравниваем значение при одинаковых степенях "икс" справа и слева. В результате придем к системе трех линейных уравнений (СЛАУ) с тремя неизвестными.
Как решать системы уравнений описано в других статьях сайта. В конечном варианте Вы получите следующее решения СЛАУ
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Подставляем постоянные в разложение дроби на простейшие и выполняем интегрирование
На этом пример решен.
Пример 16.
Опять нужно найти интеграл от дробно-рациональной функции. Для начала кубическое уравнение, которое содержится в знаменателе дроби разложим на простые множители
Далее выполняем разложение дроби на простейшие
Сводим правую сторону к общему знаменателю и раскрываем скобки в числителе.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Снова придем к СЛАУ с тремя неизвестными
Подставляем значения А,В,С
в разложение и вычисляем интеграл
Первые два слагаемых дают логарифм, последний тоже легко найти.
Пример 17.
В знаменателе дробно-рациональной функции имеем разницу кубов. Ее по формулам сокращенного умножения раскладываем на два простых множителя
Далее полученную дробную функцию расписываем на сумму простых дробей и сводим их под общий знаменатель
В числителе получим следующее выражение.
Из него формируем систему линейных уравнений для вычисления 3 неизвестных
A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Подставляем А, В, С
в формулу и выполняем интегрирование. В результате придем к такому ответу
Здесь числитель второго интеграла превращали в логарифм, при этом остаток под интегралом дает арктангенс.
Подобных примеров на интегрирование рациональных дробей в интернете очень много. Похожие примеры Вы можете найти из приведенных ниже материалов.