Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18+36=54 , то (18+36):6=54:6 . Из таблицы умножения находим 54:6=9 (смотрите раздел теории деление при помощи таблицы умножения). Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6 . Из таблицы умножения имеем 18:6=3 и 36:6=6 , поэтому 18:6+36:6=3+6=9 . Следовательно, равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное.

Еще следует обратить внимание на тот факт, что это свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел позволяют выполнять деление суммы трех и большего количества натуральных чисел на данное натуральное число. Например, частное (14+8+4+2):2 равно сумме частных следующего вида 14:2+8:2+4:2+2:2 .

Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число.

Аналогично предыдущему свойству формулируется свойство деления разности двух натуральных чисел на данное натуральное число: разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа .

С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a-b):c=a:c-b:c , где a , b и c – такие натуральные числа, что a больше или равно b , а также и a и b можно разделить на c .

В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45-25):5=45:5-25:5 . Так как 45-25=20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45-25):5=20:5 . По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4 . Теперь вычислим значение выражения 45:5-25:5 , стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45:5=9 и 25:5=5 , тогда 45:5-25:5=9-5=4 . Следовательно, равенство (45-25):5=45:5-25:5 верно.

Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число.

Если увидеть связь между делением и умножением , то будет видно и свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, равное одному из множителей. Его формулировка такова: результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю . Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a·b):a=b или (a·b):b=a , где a и b – некоторые натуральные числа.

Например, если разделить произведение чисел 2 и 8 на 2 , то получим 8 , а (3·7):7=3 .

Теперь будем считать, что делитель не равен ни одному из множителей, образующих делимое. Сформулируем свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число для этих случаев. При этом будем считать, что хотя бы один из множителей можно разделить на данное натуральное число. Итак, разделить произведение двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель .

Озвученное свойство, мягко говоря, не очевидно. Но если вспомнить, что умножение натуральных чисел по сути является сложением некоторого количества равных слагаемых (об этом написано в разделе теории смысл умножения натуральных чисел), то рассматриваемое свойство следует из .

Запишем это свойство с помощью букв. Пусть a , b и c – натуральные числа. Тогда, если a можно разделить на c , то справедливо равенство (a·b):c=(a:c)·b ; если b можно разделить на c , то справедливо равенство (a·b):c=a·(b:c) ; а если и a , и b можно разделить на c , то имеют место оба равенства одновременно, то есть, (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) .

К примеру, в силу рассмотренного свойства деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число справедливы равенства (8·6):2=(8:2)·6 и (8·6):2=8·(6:2) , которые можно записать в виде двойного равенства вида (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) .

Свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел.

Давайте разберем следующую ситуацию. Пусть нужно поровну разделить a призов между участниками b команд по c человек в каждой команде (будем считать, что натуральные числа a , b и c таковы, что указанное деление возможно провести). Как это можно сделать? Рассмотрим два случая.

• Во-первых, можно узнать общее количество участников (для этого нужно вычислить произведение b·c ), после чего провести деление всех a призов на всех b·c участников. Математически этому процессу соответствует a:(b·c) .
• Во-вторых, a призов можно разделить на b команд, после чего полученное количество призов в каждой команде (оно будет равно частному a:b ) разделить на c участников. Математически этот процесс описывается выражением (a:b):c .

Понятно, что и при первом и при втором варианте деления, каждый участник получит одно и то же количество призов. То есть, будет справедливо равенство вида a:(b·c)=(a:b):c , которое представляет собой буквенную запись свойства деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Следует заметить, что в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел полученное равенство можно записать в виде a:(b·c)=(a:c):b .

Осталось лишь привести формулировку рассматриваемого свойства деления: разделить натуральное число на произведение – это все равно что разделить это число на один из множителей, после чего полученное частное разделить на другой множитель .

Приведем пример. Покажем справедливость равенства 18:(2·3)=(18:2):3 , что будет подтверждать свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Так как 2·3=6 , то частное 18:(2·3) равно 18:6=3 . Теперь вычислим значение выражения (18:2):3 . Из таблицы умножения находим, что 18:2=9 , а 9:3=3 , тогда (18:2):3=3 . Следовательно, 18:(2·3)=(18:2):3 .

Свойство деления нуля на натуральное число.

Мы приняли условность, что число нуль (напомним, что нуль не относится к натуральным числам) означает отсутствие чего-либо. Таким образом, деление нуля на натуральное число – это есть деление «ничего» на несколько частей. Очевидно, что в каждой из полученных частей также будет «ничто», то есть нуль. Итак, 0:a=0 , где a – любое натуральное число.

Полученное выражение представляет собой буквенную запись свойства деления нуля на натуральное число, которое формулируется так: результатом деления нуля на произвольное натуральное число является нуль .

К примеру, 0:105=0 , а частное от деления нуля на 300 553 тоже равно нулю.

Натуральное число делить на нуль нельзя.

Почему же натуральное число нельзя делить на нуль? Давайте разберемся с этим.

Предположим, что некоторое натуральное число a можно разделить на нуль, и результатом деления является другое натуральное число b , то есть, справедливо равенство a:0=b . Если вспомнить о связи деления с умножением, то записанное равенство a:0=b означает справедливость равенства b·0=a . Однако свойство умножения натурального числа и нуля утверждает, что b·0=0 . Сопоставление двух последних равенств указывает на то, что a=0 , чего быть не может, так как мы сказали, что a – некоторое натуральное число. Таким образом, наше предположение о возможности деления натурального числа на нуль приводит к противоречию.

Итак, натуральное число нельзя делить на нуль .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

На данном уроке учащимся предоставляется возможность повторить табличные случаи умножения и деления, познакомиться с правилом деления суммы на число, а также потренироваться в выполнении различных заданий по теме урока.

Прочитайте и сравните выражения, записанные на доске.

(6 + 4) + 2

(6 + 4) - 2

(6 + 4) * 2

(6 + 4) : 2

Вы заметили, что в каждом выражении имеется сумма чисел 6 + 4.

Прочитаем выражения.

(6 + 4) + 2

Сумму чисел 6 + 4 увеличили на 2.

(6 + 4) - 2

Сумму чисел 6 + 4 уменьшили на 2.

(6 + 4) * 2

Сумму чисел 6 + 4 увеличили в 2 раза.

(6 + 4) : 2

Сумму чисел 6 + 4 уменьшили в 2 раза

Как вы думаете, значения этих сумм будет одинаково?

Проверим. Вычислим значения выражений. Помним, что первое действие выполняем в скобках.

(6 + 4) + 2 = 12

(6 + 4) - 2 = 8

(6 + 4) * 2 = 20

(6 + 4) : 2 = 5

Мы получили разные значения.

Рассмотрим, как может быть выполнено деление суммы на число.

Рис. 1. Деление суммы на число

Способ 1.

Сначала мы сложили синие и красные квадраты, а затем их количество разделили на две равные части.

(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5

Способ 2.

Сначала мы можем синие квадраты разделить на две равные части, затем красные квадраты разделить на две равные части, а потом результаты сложить.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5

При выполнении действий разными способами результат получается одинаковый. Поэтому можно сделать вывод.

Чтобы разделить сумму на число, можно каждое слагаемое разделить на это число,

а полученные частные сложить.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2

Применим полученные знания на практике. Вычислим значения выражений.

(64 + 72) : 8

(36 + 81) : 9

(80 + 16) : 4

Чтобы разделить сумму на число, разделим каждое слагаемое на это число, а полученные значения частных сложим.

(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17

(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13

(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24

Рассмотрите выражения. Что в них общего?

(36 + 6) : 6

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

(24 + 18) : 6

Правильно. В каждом выражении необходимо делить сумму на число 6.

Разделим выражения на две группы.

В первую запишем те выражения, где можно применить свойство деления суммы на число. В этих выражениях каждое слагаемое суммы делится на 6.

(36 + 6) : 6

(24 + 18) : 6

Во вторую группу запишем выражения, где слагаемые суммы на 6 не делятся, это значит, что в них нельзя применить свойство деления суммы на число.

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

Выполним задание.

Какие из данных чисел можно записать в виде суммы двух слагаемых, в которой каждое из слагаемых будет делиться на 7?

35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70

Сначала выпишем числа, которые делятся на число 7 без остатка.

35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70

Составим выражения и найдем их значения.

(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9

(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12

(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15

Выполним следующее задание.

Вставьте пропущенные числа, применяя правило деления суммы на число.

(… + …) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Рассуждаем так.

(… + …) : 8 = 8 + 6

Первое слагаемое разделили на 8 и получили число 8. Значит, это было число 64. Второе слагаемое разделили на 8 и получили число 6. Значит, это было число 48. Запишем решение.

(64 + 48) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

Первое слагаемое разделили на 9 и получили число 9. Значит, это было число 81. Второе слагаемое разделили на 9 и получили число 5. Значит, это было число 45. Запишем решение.

(81 + 45) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Первое слагаемое разделили на 3 и получили число 8. Значит, это было число 24. Второе слагаемое разделили на 3 и получили число 5. Значит, это было число 15. Запишем решение.

(24 + 15) : 3 = 8 + 5

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом деления суммы на число, потренировались в решении примеров по теме урока.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.

Рассмотрим понятие деление на задаче:
В корзине лежало 12 яблок. Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?

Решение:
Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.

Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.

Рассмотрим подробно пример 12:6=2:

Число 12 называется делимым . Это число, которое делят.
Число 6 называется делителем . Это число, на которое делят.
И результат деления число 2 называют частным . Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

В буквенном виде деление выглядит так:
a:b=c
a – делимое,
b – делитель,
c – частное.

Так что же такое деление?

Деление – это действие, обратное одного множителя мы можем найти другой множитель.

Деление проверяется умножением, то есть:
a : b = c , проверка с⋅ b = a
18:9=2, проверка 2⋅9=18

Неизвестный множитель.

Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?

Решение:
x – неизвестное количество упаковок шаров.
3 – штуки в одной упаковки шаров.
30 – всего шаров.

x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный нужно, произведение поделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.

Ответ: 10 упаковок шаров.

Неизвестное делимое.

Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?

Решение:
x – всего карандашей,
6 – карандашей в каждой упаковке,
3 – упаковки карандашей.

Запишем уравнение задачи в виде деления.
x:6=3
x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
х=3⋅6
х=18

Ответ: 18 карандашей.

Неизвестный делитель.

Разберём задачу:
Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?

Решение:
х – количество шаров, которое купил один покупатель,
5 – количество покупателей,
15 – количество шаров.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
х=15:5
х=3

Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.

Свойства деления натурального числа на единицу.

Правило деления:
Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.

7:1=7
a :1= a

Свойства деления натурального числа на нуль.

Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
Правило деления:
Делить на нуль нельзя.

Свойства деления нуля на натуральное число.

0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
0: a =0
Правило деления:
При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.

Свойство деления одинаковых чисел.

3:3=1
a : a =1
Правило деления:
При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.

Вопросы по теме “Деление”:

В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
Ответ: a:b и c.

Что такое частное?
Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.

Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.

Пример №1:
Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41

Пример №2:
При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9

а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
х – неизвестное делимое,
6 – делитель,
8 – частное.
х=8⋅6
х=48

б) 54 – делимое,
х – делитель,
9 – частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
х=54:9
х=6

Задача №1:
У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
Решение:
Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Второй способ:
45:15=3

Ответ: в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.

«Деление многозначных чисел на однозначные» - Делимое находится так: б) Число, на которое делят, называется делителем; а) Число, которое делят, называется делителем; А) к частному прибавить делитель; Если цифра неполного делимого меньше делителя, то в частном 0. Алгоритм действий. Какое из утверждений является верным? в) Число, которое получается в результате деления, называется делителем.

«Уменьшаемое вычитаемое разность» - Испытания только начинаются… Задание: поставьте в порядке возрастания. + = Разность - =. Сумма. Попросим хитрую лису помочь Ивану-Царевичу найти сундук. Кто готов открыть сундук? Уменьшаемое. Разность. Кто стал настоящим другом Ивану? Слагаемое слагаемое сумма разность уменьшаемое вычитаемое. Презентация к уроку математике в 1-м классе.

«Задачи на деление» - Составить задачу и решить. Расшифруйте ребусы: 10: 5 = 2 (з.). Из каких фигур состоит? 9: 3 = 3 (т.). Трибуна. Пистолет. Расставьте знаки арифметический действий: 12: 4 = 3 (ш.). Семьсот. Конкретный смысл действия деления. Решите задачу. Заполните пустую клетку. Поймайте рыбок. Опять. Математика класс Моро М. И.

«Сумма и разность кубов» - Выполните возведение в квадрат. (2x – 1)2 (9 – n)2 (–3a + 5)2. Разложите на множители: Представить в виде куба: 8х3 64с6 b12. Представить в виде куба: 125у3 x3 а9b6 8n6y15. Разложение на множители суммы и разности кубов.

«Умножение и деление чисел» - 3. Укажи число, которое получится, если 709 увеличить в 61 раз. Подготовка к тестированию по математике. 1. Укажи значение произведения, если первый множитель 6248, а второй - 9. 6. Укажи число, которое надо вставить в «окошко», чтобы равенство:24=2003 стало верным. 9. Укажи верно решенный пример. 5. Укажи значение произведение чисел 4379 и 8.

«Деление на двузначное число» - В сказку сразу попадём, Если ключик мы найдём. Геометрический материал. Закрепление пройденного. Деление. Физкультминутка. Продолжить работу по формированию умения выполнять письменное деление на двузначное число. Решение задач. Цель. 24х5. 149376:64. 38232:72. Ура. На двузначное. 36х4. Фронтальная работа.