Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k- го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

α К = М .

Для дискретной случайной величины

Ц

Х = Х – М[Х]

Условимся отличать центрированную с.в. значком 0 наверху.

Центральным моментом S -го порядка называется математическое ожидание S-й степени центрированной случайной величины

 S = M [(X – m x) S ].

Для дискретной случайной величины

 S = (x i – m x) S p i .

Для непрерывной случайной величины

.

Свойства моментов случайных величин

начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию (по определению):

α 1 = М = m x .

центральный момент первого порядка всегда равен нулю (докажем на примере дискретной с. в.):

 1 = M [(X – m x) 1 ] =(x i – m x) p i =x i p i –m x p i = m x –m x p i =m x –m x = 0.

центральный момент второго порядка характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Центральный момент второго порядка называется дисперсией с. в. и обозначается D[X] или D x

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение σ х = √D x .

σ х – также как и D x характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания но имеет размерность случайной величины.

второй начальный момент α 2 характеризует степень разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания, а также смещение случайной величины на числовой оси

Связь первого и второго начальных моментов с дисперсией (на примере непрерывной с. в.):

третий центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень асимметрии распределения случайной величины.

f(x ср) > f(-x ср)

Для симметричных законов распределения m 3 = 0.

Для характеристики только степени асимметрии используется так называемый коэффициент асимметрии

Для симметричного закона распределения Sk = 0

четвертый центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень островершинности закона распределения.

3.4. Моменты случайной величины.

Выше мы познакомились с исчерпывающими характеристиками СВ: функцией распределения и рядом распределения - для дискретной СВ, функцией распределения и плотностью вероятности - для непрерывной СВ. Эти попарно эквивалентные по информационному содержанию характеристики представляют собой функции и полностью описывают СВ с вероятностной точки зрения. Однако, во многих практических ситуациях или невозможно, или нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Зачастую бывает достаточно указать один или несколько числовых параметров, до некоторой степени описывающих основные черты распределения, а иногда нахождение исчерпывающих характеристик является хотя и желательным, но слишком трудным математически, и оперируя числовыми параметрами, мы ограничиваемся хотя и приближенным, но более простым описанием. Указанные числовые параметры называются числовыми характеристиками случайной величины и играют большую роль в применениях теории вероятности к различным областям науки и техники, облегчая решение задач и позволяя представить результаты решения в простой и наглядной форме.

Наиболее часто применяемые числовые характеристики можно условно разбить на два вида: моменты и характеристики положения. Существует несколько видов моментов, из них наиболее часто применяются два вида: начальные и центральные . Другие виды моментов, например, абсолютные моменты, факториальные моменты , мы не рассматриваем. Чтобы избегнуть применения обобщения интеграла - так называемого интеграла Стильтьеса, дадим определения моментов по отдельности для непрерывных и дискретных СВ.

Определения. 1. Начальным моментом k -го порядка дискретной СВ называется величина

где f (x ) - плотность вероятности данной СВ.

3. Центральным моментом k -го порядка дискретной СВ называется величина

В случаях, когда одновременно в рассмотрении находятся несколько СВ, удобно, во избежание недоразумений, указывать принадлежность момента; мы будем это делать, указывая обозначение соответствующей СВ в скобках, например, , и т. д. Не следует путать это обозначение с записью функции, а букву в скобках - с аргументом функции. Суммы и интегралы в правых частях равенств (3.4.1 - 3.4.4) могут сходиться или расходиться в зависимости от значенияk и конкретного распределения. В первом случае говорят, что момент не существует или расходится , во втором - что момент существует или сходится. Если у дискретной СВ конечное число конечных значений (N конечно), то все ее моменты конечного порядка k существуют. При бесконечном N , начиная с некоторого k и для бо¢льших порядков, моменты дискретной СВ (одновременно начальные и центральные) могут не существовать. Моменты непрерывной СВ, как видно из определений, выражаются несобственными интегралами, которые могут расходится, начиная с некоторого k и для бо¢льших порядков (одновременно начальные и центральные). Моменты нулевого порядка всегда сходятся.

Рассмотрим более подробно сначала начальные, а затем центральные моменты. С математической точки зрения начальный момент k -го порядка есть «взвешенное среднее» k -ых степеней значений СВ; в случае дискретной СВ весами являются вероятности значений, в случае непрерывной СВ весовой функцией является плотность вероятности. Такого рода операции широко применяются в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т. д.); возникающие в связи с этим аналогии рассмотрены ниже.

Для лучшего понимания начальных моментов рассмотрим их отдельно при заданных k . В теории вероятностей наиболее важны моменты низших порядков, т. е. при малых k , поэтому рассмотрение следует вести в порядке возрастаниязначенийk . Начальный момент нулевого порядка равен

1 , для дискретной СВ;

=1 , для непрерывной СВ,

т.е. для любой СВ он равен одному и тому же значению - единице, и поэтому не несет никакой информации о статистических свойствах СВ.

Начальный момент первого порядка (или первый начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ.

Этот момент - важнейшая числовая характеристика любой СВ, чему есть несколько взаимосвязанных причин. Во-первых, согласно теореме Чебышёва (см. п. 7.4), при неограниченном числе испытаний над СВ среднее арифметическое наблюденных значений стремится (в некотором смысле) к , таким образом, для любой СВ- это характерное число, вокруг которого группируются ее значения на опыте. Во-вторых, для непрерывной СВчисленно равенх -овой координате центра тяжести криволинейной трапеции, образуемой кривой f (x ) (аналогичное свойство имеет место и для дискретной СВ), поэтому этот момент можно было бы назвать «центром тяжести распределения». В-третьих, этот момент имеет замечательные математические свойства, которые выяснятся в процессе прохождения курса, в частности, поэтому его величина входит в выражения для центральных моментов (см. (3.4.3) и (3.4.4)).

Важность этого момента для теоретических и практических задач теории вероятностей и его замечательные математические свойства привели к тому, что кроме обозначения и названия «первый начальный момент» в литературе используются и другие обозначения и названия, в большей или меньшей мере удобные и отражающие упомянутые свойства. Наиболее часто встречаются названия:математическое ожидание , среднее значение , и обозначения: m , M [X ], . Мы будем чаще всего использовать термин «математическое ожидание» и обозначение m ; при наличии нескольких СВ будем использовать нижний индекс, указывающий принадлежность математического ожидания, например, m x , m y и т. д.

Начальный момент второго порядка (или второй начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ;

иногда он называется средним квадратом случайной величины и обозначается M .

Начальный момент третьего порядка (или третий начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ

иногда он называется средним кубом случайной величины и обозначается M [X 3 ].

Нет смысла продолжать дальше перечисление начальных моментов. Остановимся на важной интерпретации моментов порядка k >1. Пусть, наряду со СВ X имеется также СВ Y , причем Y=X k (k =2, 3, ...). Это равенство означает, что случайные величины X и Y связаны детерминировано в том смысле, что когда СВ X принимает значение x , СВ Y принимает значение y=x k (в дальнейшем такая связь СВ будет рассмотрена более подробно). Тогда, согласно (3.4.1) и (3.4.2)

=m y , k =2, 3, ...,

т. е. k -ый начальный момент СВ равен математическому ожиданию k -ой степени этой случайной величины . Например, третий начальный момент длины ребра случайного кубика равен математическому ожиданию объема кубика. Возможность понимания моментов как неких математических ожиданий - еще одна грань важности понятия математического ожидания.

Перейдем к рассмотрению центральных моментов. Поскольку, как выяснится несколько ниже, центральные моменты однозначно выражаются через начальные и наоборот, встает вопрос, зачем вообще нужны центральные моменты и почему недостаточно начальных моментов. Рассмотрим СВ X (непрерывную или дискретную) и другую СВ Y, связанную с первой как Y=X+a , где a 0 - неслучайное вещественное число. Каждому значению x случайной величины X соответствует значение y=x+a случайной величины Y , следовательно распределение СВ Y будет иметь ту же форму (выраженную многоугольником распределения в дискретном случае или плотностью вероятности - в непрерывном случае), что и распределение СВ X , но сдвинуто по оси абсцисс на величину a . Следовательно, начальные моменты СВ Y будут отличаться от соответствующих моментов СВ X . Например, как нетрудно видеть, m y =m x +a (моменты более высокого порядка связаны более сложными соотношениями). Итак, мы установили, что начальные моменты не инвариантны относительно сдвига распределения в целом . Тот же результат получится, если сдвигать не распределение, а начало оси абсцисс по горизонтали на величину -a , т.е. справедлив и эквивалентный вывод: начальные моменты не инвариантны относительно сдвига начала оси абсцисс по горизонтали.

От этого недостатка свободны центральные моменты, предназначенные для описания тех свойств распределений, которые не зависят от их сдвига в целом. Действительно, как видно из (3.4.3) и (3.4.4), при сдвиге распределения в целом на величину a , или, что то же самое, сдвиге начала оси абсцисс на величину -a , все значения x , при тех же вероятностях (в дискретном случае) или той же плотности вероятности (в непрерывном случае), изменятся на величину a , но настолько же изменится величина m , так что значения скобок в правых частях равенств не изменятся. Таким образом, центральные моменты инвариантны относительно сдвига распределения в целом, или, что то же самое, относительно сдвига начала оси абсцисс по горизонтали. Название «центральные» эти моменты получили в те времена, когда первый начальный момент назывался «центром». Полезно заметить, что центральный момент СВ X можно понимать как соответствующий начальный момент СВ X 0 , равной

СВ X 0 называется центрированной (по отношению к СВ X ), а приводящая к ней операция, т. е. вычитание из случайной величины ее математического ожидания, называется центрированием . Как мы увидим в дальнейшем, это понятие и эта операция будут полезны на протяжении всего курса. Заметим, что центральный момент порядка k >1 можно рассматривать как математическое ожидание (среднее) k -ой степени центрированной СВ: .

Рассмотрим по отдельности центральные моменты низших порядков. Центральный момент нулевого порядка равен

, для дискретных СВ;

, для непрерывных СВ;

т. е. для любой СВ и не несет никакой информации о статистических свойствах этой СВ.

Центральный момент первого порядка (или первый центральный момент) равен

для дискретной СВ;

для непрерывной СВ; т. е. для любой СВ и не несет никакой информации о статистических свойствах этой СВ.

Центральный момент второго порядка (или второй центральный момент) равен

, для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ.

Как выяснится ниже, этот момент - один из важнейших в теории вероятностей, т. к. используется как характеристика меры разброса (или рассеяния) значений СВ, поэтому часто называется дисперсией и обозначается D х. Заметим, что можно понимать как средний квадрат центрированной СВ.

Центральный момент третьего порядка (третий центральный момент) равен

Рассмотрим дискретную случайную величину , заданную законом распределения:

Математическое ожидание равно:

Видим, что значительно больше . Это можно объяснить тем, что значение x = –150, намного отличающееся от остальных значений, при возведении в квадрат резко возросло; вероятность же этого значения мала (0,02). Таким образом, переход от M(X) к M(X 2) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание таких значений случайной величины, которые велики по абсолютной величине, но вероятность их появления мала. Разумеется, если бы величина имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X 2 , а тем более к величинам , и т.д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины, причем не только дискретной, но и непрерывной.

Определение 6.10. Начальным моментом го порядка случайной величины называется математическое ожидание величины :

В частности:

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать иначе

Кроме моментов случайной величины целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Определение 6.11. Центральным моментом ого порядка случайной величины называется математическое ожидание величины .

(6.23)

В частности,

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Так, сравнивая (6.22) и (6.24), получим:

Нетрудно доказать и следующие соотношения:

Аналогично:

Моменты более высоких порядков используются редко. В определении центральных моментов используются отклонения случайной величины от ее математического ожидания (центра). Поэтому моменты называются центральными .

В определении начальных моментов также используются отклонения случайной величины, но не от математического ожидания, а от точки, абсцисса которой равна нулю, являющейся началом координат. Поэтому моменты называются начальными .

В случае непрерывной случайной величины начальный момент го порядка вычисляется по формуле:

(6.27)

Центральный момент го порядка непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

(6.28)

Предположим, что распределение случайной величины симметрично относительно математического ожидания. Тогда все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Это можно объяснить тем, что для каждого положительного значения величины X-M(X) найдется (в силу симметричности распределения относительно M(X) ) равное ему по абсолютной величине отрицательное значение этой величины, причем их вероятности будут одинаковыми.

Если центральный момент нечетного порядка не равны нулю, то это говорит об асимметричности распределения, причем чем больше момент, тем больше асимметрия. Поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения разумнее всего взять какой-нибудь нечетный центральный момент. Так как центральный момент первого порядка всегда равен нулю, то целесообразно для этой цели использовать центральный момент третьего порядка.

Определение 6.12. Коэффициентом асимметрии называется величина:

Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения (рис. 6.1а ) более полога слева от . Если коэффициент положительный, а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения более пологая справа.

Как известно, второй центральный момент (дисперсии) служит для характеристики рассеивания значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Если этот момент для некоторой случайной величины достаточно большой, т.е. рассеивание велико, то соответствующая кривая распределения более пологая, чем кривая распределения случайной величины, имеющей меньший момент второго порядка. Однако моментне может служить для этой цели в силу того, что для любого распределения .

В этом случае используется центральный момент четвертого порядка.

Определение 6.13. Эксцессом называется величина:

Для наиболее распространенного в природе нормального закона распределения отношение . Поэтому эксцесс, заданный формулой (6.28) служит для сравнения данного распределения с нормальным (рис. 6.1b ).

Центральными называются моменты распределения, при вычислении которых за исходную величину принимаются отклонение вариантов от средней арифметической данного ряда.

1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле:

2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле:

где - значение середины интервалов;

Это среднее взвешенное;

Fi-число значений.

3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле:

где - значение середины интервалов; - это среднее взвешенное; - fi-число значений.

4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле:

где - значение середины интервалов; - это среднее взвешенное; - fi-число значений.

Расчет для таблицы 3.2

Расчет для таблицы 3.4

1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле (7.1):

2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле (7.2):

3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле (7.3):

4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле (7.4):

Расчет для таблицы 3.6

1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле (7.1):

2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле (7.2):

3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле (7.3):

4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле (7.4):

Рассчитаны моменты 1,2,3,4 порядков по трем задачам. Где момент третьего порядка понадобиться для расчета асимметрии, а момент четвертого порядка понадобиться для расчета эксцесса.

РАСЧЕТ АСИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В статистической практике встречаются разнообразные распределения. Различают следующие разновидности кривых распределения:

· одновершинные кривые: симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;

· многовершинные кривые.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух или более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распределений средняя, мода и медиана также равны.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии ():

где -это среднее взвешенное; Mo-мода; -среднеквадратичная взвешенная дисперсия; Me-медиана.

Его величина может быть положительной и отрицательной. В первом случае речь идет о правосторонней асимметрии, а во втором- о левосторонней.

При правосторонней асимметрии Mo>Me >x. Наиболее широко (как показатель асимметрии) применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе:

где -центральный момент третьего порядка; -среднее квадратическое отклонение в кубе.

Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной; если она меньше 0,25, то незначительной.

Оценка существенности производится на основе средней квадратической ошибки, коэффициента асимметрии (), которая зависит от числа наблюдений (n) и рассчитывается по формуле:

где n-число наблюдений.

В случае асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Расчет для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.

Левосторонняя, значительная асимметрия.

Расчет для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.

1. Определим асимметрии по формуле (7.5):

Правосторонняя, значительная асимметрия.

Расчет для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)

1. Определим асимметрии по формуле (7.5):

Правосторонняя, незначительная асимметрия.

РАСЧЕТ ЭКСЦЕССА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса ():

где - центральный момент четвертого порядка; - средне квадратическое отклонение в четвертой степени.

Расчет для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.

Расчет для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.

Рассчитаем показатель эксцесса по формуле (7.7)

Островершинное распределение.

Расчет для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)

Рассчитаем показатель эксцесса по формуле (7.7)

Плосковершинное распределение.

ОЦЕНКА ОДНОРОДНОСТИ СОВОКУПНОСТИ

Оценка однородности для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.

Необходимо отметить, что хотя показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, однако их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально - экономических явлений. Полученный результат свидетельствует о наличии значительной по величине и отрицательной по своему характеру асимметрии, нужно заметить, что асимметрия является левосторонней. Кроме того совокупность имеет плос-ковершинное распределение.

Оценка однородности для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.

Полученный результат свидетельствует о наличии значительной по величине и положительной по своему характеру асимметрии, нужно заметить что асимметрия является правосторонней. А так же совокупность имеет остро-вершинное распределение.

Оценка однородности для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)

Полученный результат свидетельствует о наличии незначительной по величине и положительной по своему характеру асимметрии, нужно заметить что асимметрия является правосторонней. Кроме того совокупность имеет плосковершинное распределение.

Начальным моментом k -го порядка случайной величины X X k :

В частности,

Центральным моментом k -го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины k :

. (5.11)

В частности,

Воспользовавшись определениями и свойствами математического ожидания и дисперсии, можно получить, что

,

,

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Предположим, что распределение случайной величины симметрично относительно математического ожидания. Тогда все центральные нечетного порядка равны нулю. Это можно объяснить тем, что для каждого положительного значения отклонения X–M[X] найдется (в силу симметричности распределения) равное ему по абсолютной величине отрицательное значение, причем их вероятности будут одинаковыми. Если центральный момент равен нечетного порядка не равен нулю, то это говорит об асимметричности распределения и чем больше момент, тем больше асимметрия. Поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения разумнее всего взять какой-нибудь нечетный центральный момент. Так как центральный момент 1-го порядка всегда равен нулю, то целесообразно для этой цели использовать центральный момент 3-го порядка. Однако принять этот момент для оценки асимметричности неудобно потому, что его величина зависит от единиц, в которых измеряется случайная величина. Чтобы устранить этот недостаток,  3 делят на  3 и таким образом получают характеристику.

Коэффициентом асимметрии A называется величина

. (5.12)

Рис. 5.1

Как известно, дисперсия (2-й центральный момент) служит для характеристики рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем более полога соответствующая кривая распределения. Однако нормированный момент 2-го порядка  2 / 2 не может служить характеристикой "плосковершинности" или "островершинности" распределения потому, что для любого распределения D[x ]/ 2 =1. В этом случае используют центральный момент 4-го порядка.

Эксцессом E называется величина

. (5.13)

Ч

Рис. 5.2

Пример 5.6. ДСВ X задана следующим законом распределения:

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.

Рис. 5.4

Теперь вычислим центральные моменты: