Степенной называется функция вида y=x n (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.

Линейная функция y=x 1 (y=x)

График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

График представлен ниже.

Основные свойства линейной функции:

• Функция возрастающая и определена на всей числовой оси.
• Не имеет максимального и минимального значений.

Квадратичная функция y=x 2

Графиком квадратичной функции является парабола.

Основные свойства квадратичной функции:

• 1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
• 2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
• 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \]

  График (рис. 2).

  

  Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$

  Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем

  Область определения -- все действительные числа.

  $f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.

  $f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

  Область значения -- все действительные числа.

  $f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$

  Функция возрастает на всей области определения.

  $f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

  $f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$

  \ \

  Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$.

  График (рис. 3).

  

  Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$

  Степенная функция с целым показателем

  Для начала введем понятие степени с целым показателем.

  Определение 3

  Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:

  

  Рисунок 4.

  Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.

  Определение 4

  $f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.

  Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

  Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

  Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

  Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.

  $f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

  Область значения:

  Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

  При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty)$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

  $f(x)\ge 0$ на всей области определения